2013高考总复习江苏专用（理科）：第三篇导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·南通调研)曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程是________．解析 y′＝3x2－2，k＝3－2＝1，所以切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.答案 x－y－2＝02．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，f′(x)＝2x－4，故f′(0)＝－4.答案 －43．(2011·菏泽模拟)若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．解析 f′(x)＝excosx－exsinx，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos1－sin1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．答案 钝角4．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(an，a)处的切线与x轴交点的横坐标为an＋1，n∈N*，若a1＝16，则a3＋a5＝________，数列{an}的通项公式为________．解析 k＝f′(an)＝2an，切线方程为y－a＝2an(x－an)，令y＝0，得－a＝2an(an＋1－an)，即＝.所以{an}是首项为16，公比为的等比数列，所以an＝16·n－1＝25－n，a3＋a5＝5.答案 5 25－n5．(2011·青岛模拟)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．解析 设P(t，t2－lnt)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．6\n答案 6．(2011·临沂市检测)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为________．解析 y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×＝－1，所以＝－.答案 －7．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________．解析 由y＝xn－xn＋1，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，k＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－(n＋2)·2n－1，切线方程为y＋2n＝－(n＋2)·2n－1(x－2)，所以＝2n,2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.答案 2n＋1－2二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2010·陕西)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该曲线的方程．解 f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得解得a＝，x＝e2.因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.9．已知函数y＝f(x)＝.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的最大值．解 (1)因为f′(x)＝，所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，6\n所以y＝f(x)在x＝处的切线方程为y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝e.因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，所以f(x)max＝f(e)＝.10．(2011·盐城检测)已知：在函数的图象上，f(x)＝mx3－x以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．解 (1)依题意，得f′(1)＝tan，即3m－1＝1，m＝.因为f(1)＝n，所以n＝－.(2)令f′(x)＝2x2－1＝0，得x＝±.当－1＜x＜－时，f′(x)＝2x2－1＞0；当－＜x＜时，f′(x)＝2x2－1＜0；当＜x＜3时，f′(x)＝2x2－1＞0.又f(－1)＝，f＝，f＝－，f(3)＝15，因此，当x∈[－1,3]时，－≤f(x)≤15.要使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立，则k≥15＋2013＝2028.所以，存在最小的正整数k＝2028，使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立．B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)6\n一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·海南、宁夏高考题)曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析 y′＝＝，k＝f′(－1)＝2，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案 2x－y＋1＝02．(2011·厦门质检)已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝______；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析 f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，∴f′(0)＝1，f(0)＝0，故函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.答案 (x＋1)ex x－y＝03．(2011·苏北四市调研)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析 k＝f′(2)＝1，切线方程为y＝x－2.答案 x－y－2＝04．(2010·江西改编)等比数列中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝__________.解析 函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212＝4096.答案 40965．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于任意实数x有f(x)≥0，则的最小值为________．解析 f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0，又所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.6\n答案 26．(2011·南京模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．解析 如图，可求得直线y＝x与y＝x2＋1(x＞0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m＞时，直线y＝mx与y＝f(x)的图象恰有三个不同的公共点．答案 (，＋∞)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知f(x)＝x＋.(1)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心．(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．证明 (1)已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1.可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(2)在曲线上任取一点.由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为.令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．6\n直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为·|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.8．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．解 设存在过切点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)(x2≠x1)，则切线方程为y－＝(x＋4x1＋3)(x－x1)，即为y＝(x＋4x1＋3)x－.同理，过点B(x2，y2)的切线方程是y＝(x＋4x2＋3)x－.由于两切线是同一切线，所以有即又x1≠x2，所以解得x1＝x2＝－2，这与x1≠x2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．6
