专题7.4基本不等式及其应用一、填空题1．下列不等式：①lg>lgx(x>0)；②sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；③x2＋1≥2|x|(x∈R)；④＜1(x∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．【答案】③2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]【解析】2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.3．(2022·镇江期末)若a，b都是正数，则·的最小值为________．【答案】9【解析】∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．4．(2022·湖南卷改编)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．【答案】2【解析】依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.5．(2022·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为________．6\n【答案】4－26．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________．【答案】2【解析】由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.7．(2022·苏州调研)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．【答案】－4【解析】∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.8．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】＝，因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则≤＝，即的最大值为，故a≥.二、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．6\n10．(2022·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x(x>1)米，离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．解 (1)当a＝1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为点D，则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知知观察者离墙x米，且x>1，6\n【能力提升】11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．6\n【答案】1【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.12．(2022·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋的最小值为________．【答案】813．(2022·盐城中学月考)a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．【答案】【解析】依题意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤，≤≤，当且仅当或时，等号成立．14．(2022·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值．6\n设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因为AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tanα，6
