课时规范练33 基本不等式及其应用 基础巩固组1.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2ab,则( )A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件2.(2020辽宁实验中学五模,文9)已知正实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为( )A.1B.2C.3D.43.已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为( )A.-1B.-32C.-4D.-24.(2020重庆高三模拟,文4)已知a,b>0,a+2b=2,则ba+1b的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[2,+∞)C.[2+1,+∞)D.[22,+∞)5.设正实数x,y满足x>y,x+2y=3,则1x-y+9x+5y的最小值为( )A.83B.3C.32D.2336.(2020吉林联考,理5)若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为( )A.2B.23C.4D.227.(2020贵州六盘水模拟,理4)已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( )A.8B.9C.12D.168.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 . 9.经过长期观测,某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(单位:千辆/时)与vv2-5v+900成正比,其中v(单位:千米/时)是汽车的平均速度.则该公路段在交通繁忙的时段内,汽车的平均速度v为 时,车流量最大. 10.(2020安徽合肥第二中学月考)已知a>0,b>0.(1)若1a+4b=4,求ab的最小值;(2)若a+b=1,求1a+4b的最小值.\n综合提升组11.(2020新高考全国1,11改编)已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论不成立的是( )A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤212.设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为( )A.8B.4+23C.5+23D.4313.设x>0,y>0,且x+y+xy=2.(1)求x+y的取值范围;(2)求xy的取值范围.创新应用组14.(2020湖南常德一模,文15)已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足aman=2a1且a6=a5+2a4,则1m+4n的最小值是 . 15.(2020江苏昆山高级中学月考)已知2x+5y=8.(1)当x>0,y>0时,求xy的最大值;(2)当x>-1,y>-2时,若不等式10x+1+1y+2≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.\n参考答案课时规范练33 基本不等式及其应用1.D 由a,b是正实数,不一定得到a+b>2ab,如a=b=1.反之,由a+b>2ab,不一定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.故p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.2.B ∵正实数x,y满足x2-xy+y2=1,∴(x+y)2=3xy+1≤3×x+y22+1,化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,当且仅当x=y=1时取等号.则x+y的最大值为2.3.D ∵a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a+1b(a+b)=-122+ba+ab≤-122+2ba·ab=-2,当且仅当a=b=-1时取等号.故y=1a+1b的最大值为-2.故选D.4.C 由题意得,ba+1b=ba+a+2b2b=ba+a2b+1≥2ba·a2b+1=2+1,当且仅当ba=a2b,即a=22-2,b=2-2时等号成立.故选C.5.A 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以1x-y+9x+5y=161x-y+9x+5y×6=161x-y+9x+5y[(x-y)+(x+5y)]=1610+x+5yx-y+9(x-y)x+5y≥16(10+29)=83,当且仅当x=2,y=12时取最小值.故选A.6.C 因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log4(x2y)=1,所以x2y=4(x>0,y>0),则x2+y≥2x2y=4,当且仅当x2=y=2时,等号成立,故x2+y的最小值为4.故选C.7.B 由题意,得4y+1x=1,则x+y=(x+y)4y+1x=5+4xy+yx≥5+24xy·yx=9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,所以x+y的最小值为9.故选B.8.45 由5x2y2+y4=1,得x2=151y2-y2.所以x2+y2=15·1y2-15y2+y2=15y2+45y2≥2425=45.当15y2=45y2,即y2=12,x2=310时,上式取等号,\n所以x2+y2的最小值为45.9.30 设y=kvv2-5v+900(k≠0).∵v>0,∴y=kv+900v-5.∵v+900v≥60,∴y≤k55.当且仅当v=900v,即v=30(千米/时)时,车流量最大.10.解(1)因为a>0,b>0,由1a+4b=4≥24ab,则ab≥1,所以ab≥1,当且仅当a=12,b=2时取等号,所以ab的最小值为1.(2)因为a>0,b>0,a+b=1,所以1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=23时取等号,所以1a+4b的最小值为9.11.C ∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A正确;∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,∴2a-b>2-1=12,故B正确;∵a+b=1≥2ab,∴ab≤14,log2a+log2b=log2ab≤log214=-2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C错误;∵a+b=1≥2ab,∴2ab≤1,(a+b)2=a+b+2ab≤2,∴a+b≤2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故D正确.故选C.12.B ∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2ab·2cd+ab+cd=4+3ab+cd≥4+23abcd=4+23.当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=1314,c=d=314时取等号,∴a2+b2+m的最小值为4+23.故选B.13.解(1)∵2=x+y+xy≤x+y+x+y22,当且仅当x=y=3-1时取等号.∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0,∴x+y≤-2-23或x+y≥-2+23,又x>0,y>0,∴x+y≥-2+23,又x+y<2,∴x+y∈[23-2,2).(2)∵2=x+y+xy≥2xy+xy,当且仅当x=y=3-1时取等号.∴(xy)2+2xy-2≤0,∴-1-3≤xy≤-1+3,又x>0,y>0,∴0<xy≤-1+3,∴0<xy≤4-23,∴xy∈(0,4-23].14.94 在正项等比数列{an}中,设公比为q,因为a6=a5+2a4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因为存在两项am,an满足aman=2a1,所以2m+n-2=4,所以m+n=4,所以1m+4n=141m+4n(m+n)=145+nm+4mn≥145+2nm·4mn=94,当且仅当m+n=4,nm=4mn,即m=43,n=83时取等号.所以1m+4n的最小值是94,故答案为94.\n15.解(1)因为x>0,y>0,2x+5y=8,所以有xy=110·2x·5y≤1102x+5y22=110×822=85,当且仅当2x=5y,即x=2,y=45时,取等号,所以xy的最大值为85.(2)因为2x+5y=8,所以2(x+1)+5(y+2)=20,而x>-1,y>-2,所以10x+1+1y+2=12·20x+1+120·20y+2=12·2(x+1)+5(y+2)x+1+120·2(x+1)+5(y+2)y+2,即10x+1+1y+2=54+52·y+2x+1+110·x+1y+2≥54+252·y+2x+1·110·x+1y+2=94,当且仅当52·y+2x+1=110·x+1y+2时取等号,即x=173,y=-23时,取等号,因此10x+1+1y+2min=94,由题意得m2+4m≤94,解得-92≤m≤12.故m的取值范围为-92,12.
