2013高考总复习江苏专用（理科）：第七篇不等式《第41讲 基本不等式及其应用(1)》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．解析 ∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案 32．若x＞1，则x＋的最小值为________．解析 x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，等号当且仅当x－1＝，即x＝3时成立．答案 53．(2011·浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.答案 4．(2011·临沂市检测)已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①log2a＞0； ②2a－b＜；③2＋＜；④log2a＋log2b＜－2，其中正确的是________．解析 由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，仅④正确．答案 ④5．(2011·日照市调研)在等式“1＝＋8\n”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．解析 设括号内填入的两个正整数为x，y，则有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当y2＝9x2，即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4和12.答案 4和126．(2011·济南外国语学校检测)已知函数f(x)＝2x，f(a)·f(b)＝8，若a＞0且b＞0，则＋的最小值为________．解析 因为f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以＋＝(a＋b)＝≥＝3，当且仅当b2＝4a2，即a＝1，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为3.答案 37．(2011·南京学情分析)函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．解析 y＝mx＋n过定点(2,1)，所以2m＋n＝1，所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.答案 8二、解答题(每小题15分，共45分)8．对于任意x∈R，不等式2x2－a＋3>0恒成立，求实数a的取值范围．解 原不等式可化为a<＝＝2＋恒成立．问题转化为求f(x)＝2＋的最小值．令u＝≥1而函数f(u)＝2u＋在[1，＋∞)上单调递增，所以f(u)≥f(1)＝2＋1＝3，所以f(x)min＝3，故a<3.9．(2011·宿迁联考)某森林出现火灾，火势正以每分钟100m28\n的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？(总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费)解 (1)t＝＝.(2)设总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费．y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t)＝125·x·＋100x＋30000＋＝1250·＋100(x－2＋2)＋30000＋＝31450＋100(x－2)＋≥31450＋2＝36450.当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36450.10．(2011·苏州调研)有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l)．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．(1)求通过隧道的最低车速；(2)在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？解 (1)依题意，设d＝kv2l，其中k是待定系数．因为当v＝60时，d＝1.44l，所以1.44l＝k×602l.所以k＝0.0004，则d＝0.0004v2l.因为d≥l，所以0.0004v2l≥l，所以v≥50.所以最低车速为50km/h.(2)因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为(l＋d)m，8\n一小时内通过汽车的数量为Q＝，即Q＝.因为＋0.0004v≥2＝0.04，所以Q≤.当＝0.0004v，即v＝50时，Q取得最大值为.所以当v＝50km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多．B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·青岛质检)若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 因为≥2，所以|2a－1|≤2，解得－≤a≤.答案 2．已知0＜x＜，则函数y＝5x(3－4x)的最大值为________．解析 因为0＜x＜，所以－x＞0，所以y＝5x(3－4x)＝20x≤202＝，当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立．答案 3．(2011·泰州模拟)已知正实数x，y，z满足2x＝yz，则的最小值为________．解析 因为x2＋＋＝，所以＝x2＋＋＋8\n＝＋≥2＝.答案 4．(2011·南京模拟)若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析 由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤＋.因为＋≥2＝12，所以2k≤12，所以k≤3，即kmax＝3.答案 35．(2011·南通调研)若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则＋的最小值为________．解析 因为1≤x≤y≤z≤t≤10000，所以＋≥＋≥2＝.当且仅当x＝1，y＝z＝100，t＝10000时等号成立．答案 6．(2011·镇江统考)不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．解析 因为要求λ的最大值，所以只需要考察b(a＋b)＞0的情况，假设b(a＋b)＞0，所以由a2＋3b2≥λb(a＋b)，得λ≤＝，不妨令＝t＞0，不妨令h(t)＝＝＝(t＋1)＋－2≥2－2＝2，当t＝1时取等号．故λ的最大值为2.答案 2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·苏北四市调研)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y1＝；若在t(t＞0)天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为(a8\n＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a＝－1，t＝5，求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．解 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y.由题意，得y2＝(x－t)＋(t＞0)．所以y＝y2－y1＝(x－t)＋－(t＞4)．(1)当a＝－1，t＝5时，y＝(x－5)＋－＝－＋1≤－2＋1＝，当且仅当x＝14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．(2)y＝(x－t)＋－＝－－＋－≤－2＋，当且仅当＝，即x＝(t＋4)－4时取等号，由题意，得(t＋4)－4＞t，所以－4＜a＜0，所以a的取值范围是(－4,0)．8．(2011·苏锡常镇扬五市调研)如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中心，求此时小路的长度；8\n(2)求的最小值．解 (1)因为E为AC的中点，所以AE＝CE＝.因为＋3＜＋4，所以点F不在BC上．若点F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3.所以AE＋AF＝5.所以AF＝＜4.在△ABC中，cosA＝.在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，所以EF＝.即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．(2)若小道的端点E、F都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，则x＋y＝5.＝＝－1＝－1＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)．若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5.8\n＝＝－1＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)．故最小值是.．8
