第03节函数的单调性与最值【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测函数的单调性与最值1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.2022•浙江文7；理6，15；2022•浙江文12；理10；2022·浙江理18；2022•浙江5，17.1.比较函数值大小2.确定函数的最值（范围）3.备考重点：（1）判断函数的单调性方法；（2）求函数最值的方法；（3）利用单调性解不等式、确定参数取值范围。【知识清单】1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.对点练习判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( )(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.( )(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)×-14-\n(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.2.函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.对点练习【2022·厦门质检】函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3【解析】由于在R上单调递减，在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.【考点深度剖析】函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围）、研究函数的最值等，有时与导数综合考查，题型涉及选择题、填空题及解答题多种．【重点难点突破】考点1单调性的判定和证明【1-1】【2022·阜阳模拟】给定函数①，②，③，④.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )-14-\nA．①② B．②③C．③④D．①④【答案】B(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.【1-2】已知函数，则（）A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递减【答案】B【解析】解法一：，定义域为，且函数在区间及上均为单调递增函数，且，故函数在区间上单调递增，故选B.解法二：函数的定义域为，且在定义域上恒成立，且，因此函数在区间上单调递增，故选B.【1-3】【2022天津模拟】若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )A．B．C．D．【答案】C-14-\n对于D，在(0，＋∞)上单调递增，排除D.【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【触类旁通】【变式一】【2022安徽合肥调研】下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A.y＝－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex－x【答案】A-14-\n【解析】对于A，在(0，＋∞)内是减函数，在(0，＋∞)内是增函数，则在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数在(0，＋∞)上是增函数.【变式二】【2022山西孝义二模】函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（）A．-3B．13C.7D．5【答案】B【解析】由题意知函数的对称轴，所以，所以，故选B．考点2函数的单调区间【2-1】求函数的单调区间【答案】单调递增区间为和；单调递减区间为和.【2-2】的递增区间是（）A.B.C.D.-14-\n【答案】A是，故选A.【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数单调递增区间单调递减区间二次函数单调递减区间为；单调递增区间为.单调递增区间为；单调递减区间为-14-\n.反比例函数单调递减区间为和单调递增区间为和指数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为对数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为幂函数在上递减没有单调性在上递增-14-\n正弦函数单调递增区间单调递减区间余弦函数单调递减区间；单调递增区间正切函数单调递增区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【触类旁通】-14-\n【变式一】)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(2，＋∞)D.(－∞，－2)【答案】D上是增函数，即f(x)单调递增区间为(－∞，－2).【变式二】函数的单调递增区间为.【答案】和.【解析】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的单调递增区间为和.考点3利用单调性确定参数取值范围【3-1】【2022山东济南模拟】若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]【答案】D【解析】∵在上是减函数，∴.①-14-\n又在 上是减函数．∴，∴.②由①②知，.【3-2】【2022浙江“超级全能生”3月联考】已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【3-3】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围.【答案】【解析】函数：，由复合函数的增减性可知，若在（-2，+∞）为增函数，∴1-2a＜0，【领悟技法】1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.2.在比较、、、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.【触类旁通】【变式一】【2022浙江金华十校联考】已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)-14-\n【变式二】【2022河北保定一模】已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是A.(1,3)B.C.(2,3)D.【答案】C【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C.考点4函数的单调性和最值及其综合应用【4-1】函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.【答案】6【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴即∴∴a＋b＝6.【4-2】【2022浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】-14-\n【领悟技法】函数最值的求解方法：1.单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3.分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4.导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.【触类旁通】【变式一】【2022贵州贵阳检测】定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－2⊕x，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1B．1C．6D．12【答案】C【解析】 由已知得当时，，当时，，∵，在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴的最大值为f(2)＝23－2＝6.【变式二】【2022北京西城区5月模拟】函数，若存在，使得-14-\n，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A，解得，即则的取值范围是，故答案为.【易错试题常警惕】易错典例：函数的单调递减区间为.易错分析：求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要性.正确解析：自变量满足，解得或，令，，则内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，而外层函数在上是减函数，由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.【规范解答】 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9).2分又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)，再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1)).4分从而有8分解得1<a<.11分故所求实数a的取值范围为.12分【学科素养提升之思想方法篇】-14-\n数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】求出f(x)＝|x2－4x＋3|的单调区间.【答案】f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．【解析】[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．-14-
