第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第二讲 函数的单调性与最值\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)\n上升的下降的\n2．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数或减函数区间D\n知识点二 函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得___________(1)对于任意x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得___________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M\n1．复合函数的单调性函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．\n\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)≥f(3)，则函数f(x)在R上为减函数．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()×××\n[解析](1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1，＋∞)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．××\n\n\n题组二 走进教材2．(必修1P85习题T1改编)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为_______________________.[－1，1]和[5，7]\n3．(必修1P86T3改编)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围是____________.\n－15\nD\n\n\n7．(2020·新高考Ⅱ，7，5分)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)D\n考点突破·互动探究\n例1考点一函数的单调性ABC\n\n\n\n\n[分析](1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法．例2\n\n\n\n\n\n[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为______________________.[解析]作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1，1)和(3，＋∞)．(－1，1)和(3，＋∞)\n[引申2]本例(2)f(x)＝loga(－x2＋4x＋5)(a>1)的增区间为____________.(－1，2]\n求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．\n(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．注意：(1)求函数单调区间，定义域优先．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．\nA[2，＋∞)(－∞，－3](－∞，2]\nB\n\n\n\n\n例3D\n\n例43\n例5(－2，1)\n\n例6\n\n\n\n\n函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．\n(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．\nA\n(0，1)(1，2)[－3，－2]\n\n\n(4)设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0，1]上是减函数．由题意可知函数y＝logau在[0，1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0，1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.综上得1<a<2.\n\n例7考点二函数的最值——自主练透54\nD\n\n利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．\n名师讲坛·素养提升\n例8\n\n\n\n\n[解析](1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，所以f(x)在R上是减函数．\n
