湖南省2022年长沙市高考模拟试卷（二模）数学（文科）试题满分：150分时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。【试卷综析】本试题是一份涵盖知识点较全面的高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、复数、函数、球、数列、程序框图、解三角形、充要条件、圆、双曲线、离心率、平面向量、三角函数、参数方程与极坐标、茎叶图、线性规划、概率、导数、抽样等高考核心考点，又涉及了概率统计、三角向量、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。本题难易程度设及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从5,14,15等题能看到命题者在创新方面的努力，从16，17,18，19四题看出考基础，考规范；从20题可以看出考计算，考传统；从21题可以看出，考拓展，考融合，考创新。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则等于A．{-1,0,1}B．{1}C．{-1,1}D．{0,1}【知识点】指数函数性质，不等式，交集【答案解析】B【思路点拨】容易题，注意到A是双元素集合。2．复数=A．-4+2iB．4-2iC．2-4iD．2+4i【知识点】复数运算----分母实数化【答案解析】A由故选A【思路点拨】复数除法运算一定要掌握。3．已知，则下列关系中正确的是A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b【知识点】指对数比大小【答案解析】A由故选A【思路点拨】结合指对数函数性质决定三个数的大小。4．一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是A．12cm3B.36cm3C．cm3D．cm3【知识点】球，点面距离，球体积公式【答案解析】B球的半径-11-\n【思路点拨】熟悉基本图形，记住公式。5．等比数列中，公比，记（即表示数列的前n项之积），中值最大的是A．B．C．D．【知识点】等比数列，前n项积，正负项【答案解析】B由，，【思路点拨】根据公式计算，比较得到6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．B．C．D．【知识点】程序框图【答案解析】D【思路点拨】一步一步推导最好7．中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】解三角形，充分必要条件【答案解析】A反之则不行另法：【思路点拨】注意前后互推成功否。8．设双曲线，离心率，右焦点．方程-11-\n的两个实数根分别为，则点与圆的位置关系A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【知识点】双曲线的元素，根与系数关系，点与圆的关系【答案解析】C，所以P在圆内。【思路点拨】等轴双曲线，韦达定理的应用，点与圆的关系的判定9．在中，D为AB边上一点，，，则=A．B.C.D.【知识点】平面向量基本定理的应用【答案解析】B与作为基底，一方面另一方面所以【思路点拨】利用平面向量基本定理，平面内任一向量分解唯一。10．已知，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为A．B．C．D．【知识点】三角函数的周期，解析式的确定，函数在特定区域上的最值得求解【答案解析】A由故最大值与最小值之和为A-11-\n【思路点拨】抽象式子的识别，特殊值的确定，特定区间函数值的求解一点要符合实际。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是.【知识点】极坐标，参数方程，直线与圆的位置关系【答案解析】相交【思路点拨】基础知识嫁接，每一步算对12．一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于.【知识点】茎叶图，平均数【答案解析】23【思路点拨】正确计算即可13．若x，y满足约束条件，则的最大值为.【知识点】线性规划【答案解析】4画出可行域，由解得交点为，易知直线过该点时，z有最大值4【思路点拨】线性规划题高考比较常规，正常做就行。14．已知圆M：，在圆M上随机取两点A、B，使的概率为.【知识点】知弦长求圆心角，几何概型定义【答案解析】【思路点拨】几何概型，弄清长度问题转化为弧度再研究。圆心角之比。15．巳知函数分别是二次函数和三次函数-11-\n的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.（1）若，则；（2）设函数，则的大小关系为(用“<”连接）.【知识点】二次函数，三次函数，导数【答案解析】（1）1；（2）（1）由图易知因此，，（2）；所以函数在上减，在上增，在上减。故，【思路点拨】从图像识别函数解析式，倒推得到的解析式，再用导数手段研究就可以了。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（l2分）某网站针对“2022年法定节假日调休安排”展开的问卷调查，提出了A、B、C三种放假方案，调查结果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下20040080035岁以上（含35岁）100100400（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；（2）在“支持B方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.【知识点】分层抽样，概率【答案解析】（1）40；（2）（1）根据分层抽样按比例抽取，得解得6分（2）35岁以下：（人）-11-\n35岁以上：（人）设将35岁以下4人标记为1,2,3,4，35岁以上1人记为，所有基本事件为：共10种.其中满足条件得有4种.故.答：恰好有1个人在35岁以上（含35岁）的概率为.……12分【思路点拨】层分清，数算对；基本事件列对，加上答，圆满。17．（l2分）已知向量（1）当时，求的值；（2）求函数在上的值域.【知识点】向量平行，三角函数【答案解析】（1）；（2）（1）6分（2）9分………12分【思路点拨】掌握向量平行的条件，掌握二倍角正切公式；会化简三角式，掌握化一公式，能求出特定范围下函数值的范围。18．（l2分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F—BD—C的正切值．【知识点】线线垂直，线面垂直；二面角的作法与求法。【答案解析】（1）-11-\n3分故6分（2）因此，故为二面角F—BD—C的平面角.………………9分在中，，可得因此.即二面角F—BD—C的正切值为2.……12分【思路点拨】逆用勾股定理证明垂直是当前证明线线垂直的一种重要途径；二面角的平面角问题关键在于作出来并归在某个三角形中去计算。19．（l3分）数列的前n项和为，，且对任意的均满足.（1）求数列的通项公式；（2）若,,（），求数列的前项和.【知识点】数列，函数，前n项和。【答案解析】（1）………………①………………②①-②得：，即3分-11-\n故数列为从第二项起是公比为3的等比数列故当时，所以6分（2）时，又，所以8分两式作差得：所以…………………13分【思路点拨】由一式造另一式，两式相减出通项，检视n=1时情形；错位相减法求前n项和永远是高考考查的主要方法。20．（l3分）已知抛物线上有一点到焦点的距离为.（1）求及的值.（2）如图，设直线与抛物线交于两点，且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.【知识点】抛物线定义，直线与抛物线关系，三角形面积【答案解析】（1）抛物线焦点，代入，得5分（2）联立得：即-11-\n6分9分11分13分【思路点拨】由定义构筑等式得到p的值，由坐标算出；第二问也是常规的直线与抛物线联立方程组产生一元二次方程，由根与系数关系得出式子，最后由三角形面积公式代入算出。21．（l3分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，不等式恒成立，求实数的取值范围．【知识点】导数及其应用，线性规划，不等式，参数范围。【答案解析】（1）由解得由解得故函数的单调增区间为，单调减区间为6分（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内-11-\n则当时，不等式恒成立，即恒成立设，只需即可由（ｉ）当时，，当时，，函数在在单调递减，故成立（ｉｉ）当时，由，因为①若，即时，在区间上，则函数在单调递增，在上无最大值，当时，，此时不满足条件。②若，即时，则函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时，，此时不满足条件。（ｉｉｉ）当时，由，因为，所以，所以，故函数在上单调递减，故成立.综上所述，实数a的取值范围是.……………………13分【思路点拨】第一问属于导数常规应用，强调规范、准确；第二问求参数范围，注重恒成立的转化，构造函数，讨论单调性，最终得出结论。-11-\n21．（本小题满分l3分）（ⅰ）当时，，（ⅱ）当是，由，因为，所以，所以，故函数在上单调递减，故成立.综上所述，实数a的取值范围是.……………………13分-11-
