湖南省长沙市2013届高考数学模拟试题理湘教版注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4.考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。满分：150分时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知是复数，i是虚数单位，在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么A．B．C．D．2．已知不等式的解集为，是二项式的展开式的常数项，那么A．B．C．D．3．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和A．B．C．D．正视图侧视图俯视图4．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为A．6和B．6+4和输出s开始i=i+1i=1a=100-(iMOD100)s=s+aS=0i>200?结束是否C．6+4和D．4(+)和5．执行下列的程序框图，输出的A．9900B．10100C．5050D．49506．与抛物线相切倾斜角为的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为A．4B．2C．2D．9\n7．已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成。那么B点轨迹是A.．双曲线B．椭圆C．抛物线D．两直线8．使得函数的值域为的实数对有()对A．1B．2C．3D．无数二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）9．表示函数的导数，在区间上，随机取值,的概率为；10．已知向量，，设集合，，当时，的取值范围是；11．计算：_____________；12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为；ABCDPMEO1O213．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周上，此时P点的极坐标为；14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，AMB=30o，那么⊙O2的半径为；15．(不等式4-5)已知，那么的最小值为；16．方程+=1({1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于，离心率最小的椭圆方程为.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9\n17．函数在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点,B.C为图像与轴的交点,且为正三角形.(1)若,求函数的值域;(2)若,且,求的值.18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二，在二面角中.(1)求D、C之间的距离；(2)求CD与面ABC所成的角的大小;(3)求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。BCDABDC图一图二A19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:，。当市场价格称为市场平衡价格。（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？9\n20．设命题p:函数在上是增函数；命题q:方程有两个不相等的负实数根。求使得pq是真命题的实数对为坐标的点的轨迹图形及其面积。21．已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若,.(1)求点P的轨迹方程；xOyABQ(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。9\n22．(1)已知,求证：;(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：+++…+2013年长沙市高考数学模拟试卷（一）数学（理科）参考答案及评分标准一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案ADBCBCAB二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)9.10.(-8，1]11.12.13.(2，)14.315.16.；+=1和+=1，三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解(1)由已知得:又为正三角形,且高为,则BC=4.所以函数的最小正周期为8,即,.因为,所以.函数的值域为………………………6分(2)因为,有由x0所以，9\n故………………………………………………12分18.解:依题意，ABD=90o，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30o的二面角,DBY=30o，又AB=BD=2，A(0，0，2)，B(0，0，0)，C(0，，1)，D(1，，0)，ABDCxyz(1)|CD|==………5分(2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。设CD与面ABC成的角为，而=(1，0，-1)，sin==[0，]，=；…………………8分(3)设=t=t(1，，-2)=(t，t，-2t)，=+=(0，-,1)+(t，t，-2t)=(t，t-，-2t+1)，若，则(t，t-，-2t+1)·(0，0，2)=0得t=，……………10分此时=(，-，0)，而=(1，，0)，·=-=-10,和不垂直，即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分19.解：（1）由P=Q得2(x+4t-14)=24+8ln（16≤x≤24，t>0）。t=-x+ln（16≤x≤24）。…………………3分t′=--<0，t是x的减函数。tmin=-24+ln=+ln=+ln;……………………5分9\ntmax=-16+ln=+ln,值域为[+ln，+ln]………7分（2）由(1)t=-x+ln（16≤x≤24）。而x=20时，t=-20+ln=1.5(元/千克)…………………9分t是x的减函数。欲使x20，必须t1.5(元/千克)要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分20.解：f(x)=，p真f′(x)=>0对于x(0，+)成立a-b+5>0。aboq真方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根…………4分BPApq是真命题p真且q真实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分,不包括边界。)……………8分解：得a1=-2，a2=6，解得a=-3;(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：S=+=+…………11分xOyABQ=(a2+3a)|+a3|=………………………………13分21.解:(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，m0，m=-4t2，Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，2=(-，2t)，+=2。(x-，y)+(-4t2-，0)=(-，2t)，x=4t2，y=2t，y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M(4，0)，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，),以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:9\nL=2=2=2……………10分若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0,即a=时，L=存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。……13分22.解：(1)证明：a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，alog3a+blog3b+clog3c=alog3a+blog3b+(1-a-b)log3(1-a-b)=f(a)那么f′(a)=log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f′(a)<0，当a∈(，1)时f′(a)>0，f(a)在(0，]上递减，在[，1)上递增；f(a)≥f()=(1-b)log3+blog3b，记g(b)=(1-b)log3+blog3b，………3分得：g′(b)=log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b)<0，当b∈(，1)时，g′(b)>0，g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增；g(b)≥g()=-1。alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分(2)证明：n=1时，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知++≥-1成立，即n=1时，结论成立。设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k)时+++…+≥-k.那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：++…+≥-k.………………8分+++…+-(1-t)(1-t)≥-k(1-t).9\n+++…+≥-k(1-t)+(1-t)(1-t)…(1)设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，由归纳假设：++…+≥-k.++…+≥-k(t-s)+(t-s)(t-s)………(2)………………10分+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：++…+≥-ks+ss……(3)将(1)、(2)、(3)两边分别相加得：++…++…++…+≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+(1-t)(1-t)+(t-s)(t-s)+ss而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s)>0，s>0。(1-t)(1-t)+(t-s)(t-s)+ss≥-1。-k[(1-t)+(t-s)+s]+(1-t)(1-t)+(t-s)(t-s)+ss≥-k-1=-(k+1)。++…++…+≥-(k+1)。n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。…………………………13分9
