湖南省长沙市2013届高考数学模拟试题文湘教版注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4.考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。满分：150分时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知是复数，i是虚数单位，在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么A．B．C．D．2．已知不等式>0的解集为(-1，2)，是和的等比中项，那么=A．3B．-3C．-1D．13．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和A．B．C．D．4．当是下列的()时，f′(x)一定是增函数。A．二次函数B．反比例函数C．对数函数D．指数函数正视图侧视图俯视图5．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为A．6和B．6+4和C．6+4和D．4(+)和输出s开始i=i+1i=1a=100-(iMOD100)s=s+aS=0i>200?结束是否6．执行下列的程序框图，输出的A．9900B．10100C．5050D．49508\n7．与抛物线相切倾斜角为的直线与轴和轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为A．4B．2C．2D．8．已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成。那么B点轨迹是A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．两直线9．使得函数的值域为的实数对有()对A．1B．2C．3D．无数二．填空题：(每大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)选做题（从14题、15题中选一题作答，全做则按14题记分）10．表示函数的导数，在区间上，随机取值,的概率为；11．从正方体的两相邻表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成60o的概率为；12．已知x(0，)时，sinx<x<tanx，若p=sin+cos、,,那么p、q、r的大小关系为；13．已知向量，，设集合，，当时，的取值范围是；14．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周上，此时P点的极坐标为；15．（优选法和试验设计初步4-7）一个单峰函数的因素x的取值范围是[20，30]，用黄金分割法安排试点，x1，x2，x3，x4…中，若x1<x2，x1，x3依次是好点，则x4=。16．方程+=1({1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于，离心率最小的椭圆方程为.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）8\n17．设函数在处取最小值.(1)求的值;(2)在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知，求值.18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二，在二面角中.ABCDABDC图一图二(1)求证：BD⊥AC；(2)求D、C之间的距离；(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:，。当市场价格称为市场平衡价格。（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？8\n20．设命题p:函数在(0，+)上是增函数；命题q:方程有两个不相等的负实数根，若pq是真命题。(1)求点P(a，b)的轨迹图形的面积；(2)求a+5b的取值范围。21．数列{}中，a1=3，，(1)求a1、a2、a3、a4；(2)用合情推理猜测关于n的表达式(不用证明)；(3)用合情推理猜测{}是什么类型的数列并证明；(4)求{}的前n项的和。22．已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若,.(1)求点P的轨迹方程；8\n(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。xOyABQ2013年长沙市高考数学模拟试卷（一）数学（文科）参考答案及评分标准一．选择题：(本大题共9小题,每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789答案ADBDCBCAB二．填空题：(每大题共小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)10.11.12.q<p<r13.(-8，1]14.(2，)15.21．4616.；+=1和+=1，三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解:解：(1)f(x)=2=sinx(2cos2-1)+cosxsin=sinxcos+cosxsin=sin(x+),依题意，sin(+)=-1，0<<,=;………………4分(2)由(1)f(x)=sin(x+)=sin(x+)=cosx,，cosB=-，0<<,B=；由正弦定理，==sinA=，a<b，A<B，0<A<,A=C=-A-B=；………………………9分=8\n===………12分18.解:解：(1)依题意，面ABD面ABC，AB是交线，而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，BD⊥AC；…………………………4分(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，DC===2；…………………8分(3)取AB的中点H，连CH、DH和DC，ABDCH△ABC是正三角形，CHAB，又面ABC面ABD，CH面ABD，DH是DC在面ABD内的射影，CDH是DC与面ABD成的角。而CH=BC=，由(2)DC=2，sinCDH===即为所求。………………12分19.解:（1）由P=Q得2(x+4t-14)=24+8ln（16≤x≤24，t>0）。t=-x+ln（16≤x≤24）。………………………3分t′=--<0，t是x的减函数。tmin=-24+ln=+ln=+ln;………………………5分tmax=-16+ln=+ln,值域为[+ln，+ln]…………7分（2）由(1)t=-x+ln（16≤x≤24）。而x=20时，t=-20+ln=1.5(元/千克)……………………9分t是x的减函数。欲使x20，必须t1.5(元/千克)要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……2分20.解：(1)f(x)=，f′(x)=，p真x(0，+)时，>0a-b+5>0,(2′)方程x2+x+b-2=0有两个不相等的负实数根8\nabOABC，即q真；……………5分若pq是真命题。则p真q真，点P(a，b)的轨迹图形如图,ABC的内部；(8′)由边界可得A(0，2)，B(-3，2)，C(-,)ABC的面积S=3(-2)=,即点P(a，b)的轨迹图形的面积为；………………………10分(2)设a+5b=z,直线a+5b=z过B点时,z=-3+52=7，直线a+5b=z过C点时,z=-+5=，a+5b的取值范围是(7,)…………………13分21.解：(1)a1=3，a2=a1-1-1=10，a3=a2-2-1=27，a4=a3-3-1=68……………………2分(2)由(1)，a1-1=2=12，a2-2=8=222，a3-3=24=323，a4-4=64=424，猜测an-n=n2n，……………………………………4分(3)由(2)，an-n=n2n，=2n，因此可推测{}是等比数列………5分证明如下：an+1=an-n-1，an+1-(n+1)=an-2(n+1)=2(n+1)(-1)，=2,而=20,{}是首项为2，公比为2的等比数列；………………………………………8分(4)由(3)=22n-1，an=n+n2n,……………………………10分{an}的前n项的和:Sn=+12+222+323+…+n2n。记P=12+222+323+…+n2n，则2P-P=n2n+1-(2+22+23+…+2n)=(n-1)2n+1+2P=(n-1)2n+1+2,Sn=+(n-1)2n+1+2.…………………………13分xOyABQ22.解:(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，m0，m=-4t2，8\nQ(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，2=(-，2t)，+=2。(x-，y)+(-4t2-，0)=(-，2t)，x=4t2，y=2t，y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M(4，0)，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，),以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:L=2=2=2……………10分若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0,即a=时，L=存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。…3分8
