课时提升练(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2022·陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )A.B.π C．2π D．4π【解析】 最小正周期为T＝＝＝π.故选B.【答案】 B2．(2022·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；若φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．【答案】 B3．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m的值等于( )A．－1B．±5C．－5或－1D．5或1【解析】 由题意得函数的对称轴为x＝，故当x＝时，函数取得最大值或最小值，所以－2＋m＝－3或2＋m＝－3.∴m＝－1或m＝－5.【答案】 C6\n4．函数f(x)＝cos2x＋sin是( )A．非奇非偶函数B．仅有最小值的奇函数C．仅有最大值的偶函数D．有最大值又有最小值的偶函数【解析】 f(x)＝cos2x＋sin＝2cos2x－1＋cosx＝22－.显然有最大值又有最小值，而且在R上有f(－x)＝f(x)，所以正确答案为D.【答案】 D5．已知ω＞0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有( )A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1【解析】 由题意知－≥，T＝≤π，∴ω≥2.【答案】 A6．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解析】 ∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，从而f＝f(0)，又f(x)在上是增函数，∴f(0)＜f＜f，即c＜a＜b.【答案】 B二、填空题7．函数y＝lg(sinx)＋的定义域为________．【解析】 要使函数有意义必须有6\n即解得(k∈Z)，∴2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为.【答案】 8．(2022·江苏高考)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．【解析】 由题意，得sin＝cos，因为0≤φ<π，所以φ＝.【答案】 9．关于函数f(x)＝4sin，x∈R，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．其中正确命题的序号是________．(填入所有正确命题的序号)【解析】 由f(x1)＝f(x2)＝0得，x1－x2必是半个最小正周期的整数倍，由于f(x)的最小正周期是π，故①错；f(x)＝4sin＝4cos＝4cos，故②正确；因为f＝0，所以③正确；f＝－4，所以④正确．【答案】 ②③④三、解答题10．(2022·福建高考)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；6\n(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解】 法一 (1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.所以f(α)＝×－＝.(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.法二 f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin.(1)因为0＜α＜，sinα＝，所以α＝，从而f(α)＝sin＝sin＝.(2)T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得6\nkπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.11．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．【解】 (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1.所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．12．已知a＞0，函数f(x)＝－2a＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f且lg(g(x))＞0，求g(x)的单调区间．【解】 (1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，6\n∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1∴b＝－5,3a＋b＝1，∴a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1.又∵lg(g(x))＞0，∴g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞.∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z.其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．6
