课时提升练(三十八) 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．(2022·成都模拟)已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β【解析】 满足A，B，D项的条件，α与β可能相交．若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故选C.【答案】 C2．(2022·贵州六校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β【解析】 对于A项，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故A错误；对于B项，两平面还可以相交，此时直线m，n均与交线平行即可；对于C项，两平面可以相交，故C错；对于D项，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又因为n⊥β，所以α∥β，故D正确，因此选D.【答案】 D3．(2022·长春模拟)设l表示直线，α，β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为( )A．0B.1 C．2 D．3【解析】 若l∥α，则在α内的直线与l平行或异面，故①正确，②错误．由面面平行的性质知③正确．对于④，在β内有无数条直线与a平行，故④错误．故选C.【答案】 C4．(2022·临沂模拟)下列命题正确的是( )5\nA．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】 对于A，两条直线与同一个平面所成角相等，根据线面角定义，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A错；对于B，若三点在同一条直线上，则两平面可能相交，故B错；对于C，设α∩β＝l，m∥α，m∥β，利用线面平行的性质定理可以证明m∥l，故C正确；对于D，两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能相交，也可能平行，故D错，所以选C.【答案】 C5．在三棱锥PABC中，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积是( )A．1B．2C．4D.【解析】 由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以＝＝，所以△DEF∽△ABC，所以＝2，而S△ABC＝9，所以S△DEF＝1，故选A.【答案】 A6．m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中真命题的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】 确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错误只需一个反例就可以了．如图，在正方体A′C中，平面B′C垂直平面A′C′，直线AD平行平面B′C，但直线AD并不垂直平面A′C′，故②错误，排除C，D；由线面平行的判定定理知，④缺少条件“m⊄α”，故④错误．故选A.【答案】 A二、填空题7．(2022·承德一模)如图7411所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M5\n只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)图7411【解析】 连结HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不惟一)【答案】 M在线段FH上8．如图7412所示，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．图7412【解析】 取PD的中点F，连结EF，AF，在△PCD中，EF綊CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.【答案】 平行9．(2022·三明模拟)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．【解析】 若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则＝，可求得CD＝20；若P在α，β之间，则同理可求得CD＝4.【答案】 4或20三、解答题10．如图7413所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：5\n图7413(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】 (1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.11．如图7414，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．图7414【解】 在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綊AD.5\n又在平行四边形ABCD中，CM綊AD，所以NE綊MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM綊EC.又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.12．如图7415所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．图7415(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．【解】 (1)∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)设EF＝x(0＜x＜4)，∵四边形EFGH为平行四边形，∴＝，则＝＝＝1－.∴FG＝6－x.∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.又0＜x＜4，∴8＜l＜12，∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．5
