第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2022·忻州一模)不等式组所围成的平面区域的面积为( )A．3 B．6C．6D．3解析：选D.如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.2．(2022·高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3B．1C.D．3解析：选B.作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C，D(－2m，0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )A．－5B．3C．－5或3D．5或－3解析：选B.当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．6\n由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由得交点B(1，2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．4．(2022·江西省红色六校模拟)设变量x，y满足则z＝|x－3y|的最大值为( )A．3B．8C.D.解析：选B.作出不等式组满足的平面区域，如图，法一：令m＝x－3y，作出目标线，当目标线过A(－2，2)时，mmin＝－2－3×2＝－8.当目标线过B(－2，－2)时，mmax＝－2－3×(－2)＝4.所以－8≤m≤4，所以0≤|m|≤8，即zmax＝8.法二：令m＝，则由点到直线的距离公式知m＝表示区域内的点到直线x－3y＝0的距离，而m取得最大值时，z取得最大值，由图可知点A(－2，2)到直线x－3y＝0的距离最大，故z＝|x－3y|的最大值为|－2－3×2|＝8，故选B.5．(2022·邢台摸底考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋6\nby(a>0，b>0)的最大值为4，则a＋b的值为( )A.B．2C．4D．0解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1，1)时取最大值，所以a＋b＝4.6．(2022·江西省重点学校联盟)实数x，y满足若t≤y＋2x恒成立，则t的取值范围是( )A．t≤13B．t≤－5C．t≤－13D．t≤5解析：选B.作出不等式组的可行域如图中的阴影部分所示，设z＝2x＋y，结合图形可得当目标线过点A(－2，－1)时z取得最小值，最小值为－2×2－1＝－5，而t≤y＋2x恒成立，则有t≤－5.7．(2022·景德镇一模)设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为.答案：8．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的值域是________．解析：令t＝x＋2y，则y＝－x＋，作出可行域，6\n平移直线y＝－x，由图像知当直线经过O点时，t最小，当经过点D(0，1)时，t最大，所以0≤t≤2，所以1≤z≤9，即z＝3x＋2y的值域是[1，9]．答案：[1，9]9．(2022·郑州预测)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝表示可行域内一点P(x，y)与点(－1，－3)的连线的斜率，由图像可知当点P在点(3，0)时，zmin＝，在点(0，4)时，zmax＝7，所以≤z≤7.答案：10．(2022·郑州质检)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3，3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－<a<.答案：11．(2022·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；6\n(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)法一：因为＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以解得即＝(2，2)，故||＝2.法二：因为＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，所以＝(＋＋)＝(2，2)，所以||＝2.(2)因为＝m＋n，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，所以两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.1．(2022·高考浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．解析：因为x2＋y2≤1，所以2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，所以直线OA的方程为y＝x.联立得A(－，－)，6\n所以当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×(－)－4×(－)＝15.答案：152．若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)． 平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2.故a的取值范围是(－4，2)．3．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标函数为z＝300x＋200y，约束条件为欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40，0)，B(40，10)，C，D(0，40)．作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40，10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14000元．6
