第6讲数学归纳法1．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*)．3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋<k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<k＋1.左边增加了2k项．答案：2k4．(2022·九江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)5．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．6．(2022·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意知S2＝4a3－20，所以S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，所以a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，所以a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.2\n综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，结论显然成立；②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，所以k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，所以ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.2
