第3讲基本不等式1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：选C.因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．3．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )A．3B．4C．5D．6解析：选B.由题意知ab＝1，所以m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥4＝4. 4．(2022·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( )A．1B．2C．3D．4解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1；又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.5．(2022·河北省五校联盟质量监测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )A.B.C.D．44\n解析：选D.不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一族平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．6．(2022·江西省五校联考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )A．3＋2B．6C．4D．2解析：选A.由题意可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，所以＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时取等号．7．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．答案：2 8．(2022·江西省八所中学联考)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，所以2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故2x＋4y的最小值为4.答案：49．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．(2022·厦门模拟)若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a4\n的取值范围是________．解析：设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，因为x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2－3＝2－3，当且仅当x＝－3时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2－3]．答案：(－∞，2－3]11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.1．(2022·抚州一模)已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________．解析：因为正数a，b满足a＋b＝ab，所以ab≥2⇒()2－2≥0⇒≥2⇒ab≥4.由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得c＝＝＝1＋.因为ab≥4，所以ab－1≥3，所以0<≤，所以1<1＋≤.答案：2．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)＋的最小值．4\n解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝.当且仅当＝时，等号成立．由解得所以＋的最小值为.3．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP＝x米，AQ＝y米．(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin120°＝xy.所以S≤＝2500.当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.4
