第2讲不等式的证明1．如果x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．解：(－1)2－(＋1)2＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]＝－4.因为x>0，所以>0，所以－4<0，所以(－1)2<(＋1)2.2．设a>b>0，求证：>.证明：法一：－＝＝＝，因为a>b>0，所以a－b>0，ab>0，a2＋b2>0，a＋b>0.所以－>0，所以>.法二：因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0.所以＝·＝＝＝1＋>1.所以>.3．(2022·高考湖南卷)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．4．已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.证明：法一：因为a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，3\n所以＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.所以＋＋<＋＋.法二：因为＋≥2＝2；＋≥2＝2；＋≥2＝2.所以以上三式相加，得＋＋≥＋＋.又因为a，b，c互不相等，所以＋＋>＋＋.法三：因为a，b，c是不等正数，且abc＝1，所以＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋.所以＋＋<＋＋.5．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.6．(2022·贵州省六校第一次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8，所以＋＋≥8.3\n(2)因为＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.所以≥9.3
