正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;解:由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.解：(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]–[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]–2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△。二、三角形中的求角或求边长问题例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。-9-\n图1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。解：由cosA=，得sinA=,∵sinB<sinA,∴B中能是锐角∴cosB=,又cosC=-cos(A+B)=sinAsinB–cosAcosB=.例3(98年高考题)已知△ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边，且a+c=2b,A–B=60o,求sinB的值.解：由a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB-9-\n即2sincos=2sinB由A+B+C=180o得sin=cos.又A–C=60o,得=sinB所以=2sincos又∵0o<<90o,cos≠0，所以sin=.从而cos=.所以sinB=.例4．（2022年湖北卷第18题）在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，-9-\n解法2：以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=例5、(2022年天津卷第17题)在中，所对的边长分别为，设满足条件-9-\n和，求和的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力..解法一：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，，由，得所以①由正弦定理.由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，从而例6、（2022年全国高考数学试卷三（四川理））中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（Ⅰ）求的值-9-\n（Ⅱ）设，求的值。解：（Ⅰ）由得由及正弦定理得于是（Ⅱ）由得，由可得，即由余弦定理得∴例7．（2022年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值.解:(Ⅰ)-9-\n====(Ⅱ)∵∴,又∵∴当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题例8（2022年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。分析：如图2，连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以A+C=180°，所以sinA=sinC。连结BD，则四边形ABCD的面积。由余弦定理，在△ABD中，。在△CDB中，-9-\n。所以20�16cosA=52�48cosC,又因为cosC=�cosA，所以64cosA=�32，cosA=,所以A=120°。所以S=16×sin120°=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。四、解实际应用问题例9某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。解：如图6，由已知得CD=21，BD=20，CB=31，∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，（1）�（2）得2x�y=6，将y=2x�6代入（2）得，所以x=15，x=�9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等式例10在△ABC中，求证：++=0.解：因为==-9-\n==4R2(cosB–cosA),同理=4R2(cosC–cosB)=4R2(cosA–cosC).所以左边=4R2(cosB–cosA)+4R2(cosC–cosB)+4R2(cosA–cosC)=0得证.例11（2000年北京春季高考题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,证明：。证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，，所以=。故等式成立。 例12（1999年全国高中数学联赛题）在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c，若，则。解：由正弦定理，由余弦定理，所以应填。-9-
