等差数列前n项和公式的应用 等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的研究，将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力． 一、分析公式的结构特征 难得出下面的结论： 中间项． 2．当n是偶数时，a1与an的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数． 根据上述结论，可得： 性质1等差数列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)． (因为an是前2n－1项的正中间；an，an+1是前2n项的正中间两项) 例1(1)等差数列中，若a8=5，则S15=________． (2)等差数列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________． 解(1)依性质1，得 S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8， 而a8=5，∴S15=15×5=75． (2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得 a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)． 整理得a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0， 而a5=a1＋(5－1)d， ∴a5=0． 由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0． 例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由． 解依题意，有 ∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)， 故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大． 二、注意公式的变形 -2-\n 我们有： 例3等差数列{an}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为[] A．30B．170C．210D．260 解已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？ 均成等差数列．则 ∴S3m=210．故选(C)． S3m－S2m成等差数列． 性质3等差数列中依次每m项和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 例4等差数列{an}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3， 证明由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列， -2-
