数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为and或前n项和首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列.例1.设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.（A）130（B）170（C）210（D）260解若等差数列前m项、次m项、又次m项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，所以S1，S2，S3成等差数列.因为30，70，S3m－100成等差数列，所以30+S3m－100=140，即S3m=210.故应选（C）.例2.设｛an｝是等差数列，，已知，求等差数列的通项公式.解∵｛an｝成等差数列，∴｛bn｝成等比数列,∴=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.从而有b1+b3=,b1b3=.∴b1,b3是方程x2－+两根.解得或，∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.故an=a1+(n－1)d=2n－3或an=5－2n.例3.一个数列｛an｝,当n为奇数时,an=5n+1;当n为偶数时,an=2,求这个数列的前2m项的和.解:∵a1,a3,a5,…，a2m－1成等差数列，成等比数列，∴S2m=-5-\n.例4.设数列前n项和Sn与an的关系是（其中k是与n无关的常数，且k≠1）.（1）试写出由n,k表示的an的表达式；（2）若，求k的取值范围.解：（1）当n=1时，由,得当n≥2时，由，得.若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n≥2).若k≠0,则｛an｝是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）∵，∴＜1，解得k＜.例5.已知数列｛an｝的前n项和的公式是.（1）求证：｛an｝是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记，求证：对任意自然数n，都有.证明：（1）当n=1时，；当n≥2时，=.∴∴｛an｝是首项为，公差为的等差数列.（2）只要证明｛bn｝是首项为,公比为－1的等比数列.-5-\n，和∴{bn}是首项为，公比为－1的等比数列，∴.例6.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.（1）写出数列{an}的前3项；（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；（3）令，求解（1）∵，得＞0；，解得：＞0)；，解得：＞0).（2）当n≥2时，，即，即..＞0,.{an}是首项为2，公差为4的等差数列，∴.（3），.-5-\n例7.已知数列{an}满足条件：＞0），且{anan－1}是公比为q(q＞0)的等比数列.设.（1）求出使不等式＞成立的q的取值范围；（2）求bn和，其中；（3）设，求数列的最大项和最小项的值.解：（1）＞＞0，q＞0,＜0,∴0＜q＜.（2）.又是首项为1+r，公比为q的等比数列，.（3）.记，则有≤≤c21.故{cn}的最大项为c21=2.25，最小项为c20=－4.例8.设An为数列{an}前n项的和，数列{bn}的通项公式为（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，则称d为数列{an}与{bn}的公共项.将数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项是（3）设数列{dn}中的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}前r项的和，Dn为数列{dn-5-\n}前n项的和，Tn=Br－Dn，求解:（1）当n=1时，由,得a1=3;当n≥2时，由,得≥2)∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故（2）证{dn}是等比数列.显然d1=a3=27,设ai=3k是数列{bn}中的第m项，则.;不是数列{bn}中的项.而是数列{bn}中的第m+1项.,∴{dn}是首项为27，公比为9的等比数列.（3）由题意，又.故.-5-
