函数的概念与基本初等函数I1．已知函数f(x)=&(1-2a)x+3a，x＜1&lnx，x≥1的值域为R，那么a的取值范围是（ ）A．[-1，12)B．(-1，12)C．（﹣∞，﹣1]D．(-∞，12)【答案】A【解答】解：∵f（x）=&(1-2a)x+3a，x＜1&lnx，x≥1，∴x≥1，lnx≥0，∵值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足：&1-2a＞0&1-2a+3a≥0，即为﹣1≤a＜12，即﹣1≤a＜12，故选：A．解决分段函数问题的注意事项分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.2．函数y=xln|x|的大致图象是（ ）A．B．C．D．\n【答案】C【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．函数图象的识别与判断技巧1．方法1：性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．2．方法2：导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．3．方法3：图象变换法有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．3．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3﹣0.2，则（ ）A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．a＜b＜c【答案】A【解答】解：∵1＞a=0.40.3＞0.30.3＞b=0.30.4，c=0.3﹣0.2＞1，∴b＜a＜c，故选：A．\n4．已知，，，则 A．B．C．D．【答案】B【解答】解：，，；．故选：B．利用指数函数与对数函数的性质比较大小（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．5．函数f（x）=ln（x+1）﹣2x的零点所在的大致区间是（ ）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）【答案】【解答】解：∵f(x)=ln(x+1)-2x在（0，+∞）单调递增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定.\n6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2ex（e为自然对数的底数），则f（lne44）=（ ）A．﹣8B．8C．﹣4D．4【答案】A【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），∴4是f（x）的周期；又x∈（0，2）时，f（x）=2ex，∴f（lne44）=f（lne4﹣ln4）=f（4﹣ln4）=f（﹣ln4）=﹣f（ln4）=﹣2eln4=﹣2×4=﹣8．故选：A．7．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为 ．【答案】[﹣1，3）∪[7，+∞）【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；又f（4）=0；∴f（﹣4）=0；∵f（x﹣3）≤0；∴①x﹣3＞0，即x＞3时：f（x﹣3）≤f（4）；∵f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x﹣3≥4；∴x≥7；②x﹣3＜0，即x＜3时：f（x﹣3）≤f（﹣4）；∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴x﹣3≥﹣4；∴﹣1≤x＜3；综上得，x的取值范围为[﹣1，3）∪[7，+∞）．故答案为：[﹣1，3）∪[7，+∞）．将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运\n算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)若函数f(x)满足(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．1．设fx是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f2-x=f2+x，且当x∈-2,0时，fx=12x-1，若关于x的方程fx-logax+2=0(a>1)在区间-2,6内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是A．(43,48)B．(34,2)C．(43,2]D．(34,2]【答案】B【解析】因为fx为偶函数，所以f2-x=fx-2，所以fx+2=fx-2，故函数fx的周期为4，当x∈-2,0时，fx=12x-1，故fx在-2,6上的图像如图所示：因为fx-logax+2=0在区间-2,6内恰有三个不同实根，即在区间-2,6内有3个不同的解，所以fx的图像与y=logax+2的图像有3个不同的交点，\n故f2>loga2+2f6<loga6+2，即3>loga43<loga8，解得413<a<2.故选B．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．函数f（x）=x3-xex+e-x的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：f（﹣x）=-x3+xe-x+ex=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；令f（x）=0得x3﹣x=0，解得x=0或x=±1，排除C.故选：D．用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．3．已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则\nA．a>b>cB．c>a>bC．a>c>bD．c>b>a【答案】B【解析】1>a=2-13>0>b=log213,即1>a>b.又c=log1213=log23>1,所以c>a>b.选B．比较幂值大小的常见类型及解决方法：（1）同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较.（2）同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较.（3）既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.4．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为 A．B．C．D．【答案】A【解答】解：函数有3个零点，即函数的图象与的图象有3个交点．如图，\n由图可知，当直线过原点时，满足题意；联立，得．由△，得．若函数有3个零点，则实数的取值范围为，．故选：A．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在性定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．1．若函数的定义域为，，则函数的定义域为 A．，B．，C．D．，，2．已知，且，那么（2）等于 A．B．C．D．103．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）\nA．﹣50B．0C．2D．504．若函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是 A．，B．，C．，D．5．若函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则A．B．C．D．6．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A．y=2x﹣x2﹣1B．y=2xsinx4x+1C．y=（x2﹣2x）exD．y=xlnx7．设a=log212，b=log23，c=(14)23，则A．c<a<bB．b<a<cC．a<c<bD．c<b<a8．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 A．，B．C．，D．，9．若函数是定义在，上的减函数，且，则实数的取值范围是 A．B．，C．，D．10．下列函数中既是奇函数又存在零点的是（ ）A．y=2x-2-xx2B．y=x+2xC．y=12x-1+12D．y=sin2（x﹣π4）﹣1211．已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）xn的图象上，设a=f(33)，b=f(lnπ)，c=f(22)，则a，b，c的大小关系为（ ）\nA．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如：-2.1=-3，3.1=3，已知函数，则函数y=[f(x)]的值域是A．0,1B．0，2C．0，1D．-1,0,113．已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则不等式f（lnx）＞f（1）的解集为（ ）A．（e﹣1，1）B．（e﹣1，e）C．（0，1）∪（e，+∞）D．（0，e﹣1）∪（1，+∞）14．函数f(x)=ex-e-xcosxx2的部分图象大致是A．B．C．D．15．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且y=f（x+1）是偶函数，当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则f（23），f（32），f（13）的大小关系是（ ）A．f（23）＜f（32）＜f（13）B．f（13）＜f（23）＜f（32）C．f（13）＜f（32）＜f（23）D．f（32）＜f（13）＜f（23）16．若函数f（x）=ax﹣k﹣1（a＞0，a≠1）过定点（2，0），且f（x）在定义域R上是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）\nA．B．C．D．17．函数f（x）对于任意实数x满足条件f(x+4)=1f(x)，且当x∈[2，10）时，f（x）=log2（x﹣1），则f（2010）+f（2011）的值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．218．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）A．0B．1C．2D．319．若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（ ）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．[0，2]20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x﹣1，则满足不等式（x﹣l）f（x）＜0的实数x的取值范围是 ．21．已知函数，且，则___．22．．设函数f(x)=&2-x-1，x≤0&x12，x＞0，若f（x）＞1，则x的取值范围是．23．已知函数f(x)=logax2+ax（a>0，且a≠1），若f(-3)<f(4)，则不等式f(x2-3x)<f(4)的解集为__________．24．若4x=9y=6，则1x+1y= ．25．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，若，则的取值范围为__________．26．．函数f(x)=(12)-x2+4x的单调增区间为．27．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）.（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；\n（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．1.【答案】B【解答】解：的定义域为，；满足：；解得；的定义域为，．故选：B．2.【答案】A【解答】解：令，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则所以得又因为是奇函数，即（2）所以（2）则（2）（2）故选：A．3.【答案】C【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，\n故选：C．4.【答案】C【解答】解：函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线（4），（2）函数的定义域为，，值域为，，即的取值范围是，故选：C．5．【答案】C【解析】对于函数且，令，求得，此时，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则.故选C．6.【答案】C【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=2xsinx4x+1的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=ex＞0恒成立，\n∴y=（x2﹣2x）ex的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=xlnx的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=xlnx＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．7．【答案】C【解析】由题意，根据对数的运算，可得a=log212<log21=0，b=log23，根据指数幂的运算，可得0<c=(14)23<(14)0=1，则a<c<b.故选C．8.【答案】A【解答】解：由题意，在上是减函数，时，其过定点，且时是减函数，对称轴，①又时，，是减函数，函数是上的减函数，，②又①②得．故选：A．9.【答案】B【解答】解：根据题意，函数是定义在，上的减函数，若，则有，解可得：，即的取值范围为，；故选：B．10.【答案】D【解答】解：A.y=2x-2-xx2满足，x≠0；∴2x﹣2﹣x≠0；∴y≠0；\n即该函数不存在零点；B.y=x+2x的值域为(-∞，-22]∪[22，+∞)；∴该函数不存在零点；C.y=12x-1+12的值域为(-∞，-12)∪(12，+∞)；∴该函数不存在零点；D.y=sin2(x-π4)-12=1-cos(2x-π2)2-12=-sin2x；∴该函数为奇函数，且存在零点x=0．故选：D．11.【答案】A【解答】解：点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）xn的图象上，可得m﹣1=1，即m=2，2n=8，可得n=3，则f（x）=x3，且f（x）在R上递增，由a=f（33），b=f（lnπ），c=f（22），0＜33＜22＜1，lnπ＞1，可得a＜c＜b，故选：A．12．【答案】A【解析】．∴当fx∈0，1时，y=fx=0；当fx∈1，2时，y=fx=1，∴函数y=[f(x)]的值域是0,1．故选A．13.【答案】B【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）单调递减，∴不等式f（lnx）＞f（1）等价为f（|lnx|）＞f（1），即|lnx|＜1，\n即﹣1＜lnx＜1，得e﹣1＜x＜e，即不等式的解集为（e﹣1，e）故选：B．14．【答案】A【解析】由题知，fx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且f-x=e-x-excos-x(-x)2=-ex-e-xcosxx2,∴f(-x)=-fx，所以fx是奇函数，排除C和D，将x=π代入fx得fπ=eπ-e-πcosππ2=-eπ-e-ππ2<0，排除B，故选A．15.【答案】A【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，f（x）=2x﹣1为增函数，∴当x≤1时函数f（x）为减函数．∵f（32）=f（12+1）=f（﹣12+1）=f（12），且13＜12＜23，∴f（13）＞f（32）＞f（23），故选：A．16.【答案】A【解答】解：由题意可知f（2）=0，解得k=2，所以f（x）=ax﹣2﹣1，又因为是减函数，所以0＜a＜1．此时g（x）=loga（x+2）也是单调递减的，且过点（﹣1，0）．故选A符合题意．故选：A．17.【答案】C【解答】解：由f（x+4）=1f(x)得f[（x+8）]=1f(x+4)=f（x），T=8\n∵x∈[2，10），f（x）=log2（x﹣1）∴f（2010）+f（2011）=f（2）+f（3）=log21+log2（3﹣1）=1．故选：C．18.【答案】C【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选：C．19.【答案】A【解答】解：在（﹣∞，1]上2x∈（0，2]．函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a2+a≤2，解得a∈（0，1]．故选：A．20.【答案】（﹣2，0）∪（1，2）【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴当x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=log2（﹣x）﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣log2（﹣x），x＜0，当x＞0时，由f（x）=log2x﹣1=0，得log2x=1，得x=2，作出函数f（x）的图象如图：则不等式（x﹣l）f（x）＜0等价为&x-1＞0&f(x)＜0或&x-1＜0&f(x)＞0，即&x＞1&x＜-2或0＜x＜2或&x＜1&x＞2或-2＜x＜0，得1＜x＜2或﹣2＜x＜0，\n即不等式的解集为（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．21．【答案】16【解析】函数，且，当时，，解得，不成立；当时，，解得．．故答案为16．22.【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：①当x≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，即2﹣x＞2，所以﹣x＞1，得x＜﹣1；②当x＞0时，可得x＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）23．【答案】(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)【解析】∵函数f(x)=logax2+ax，∴f-x=f(x).故函数为偶函数，当x>0时，f(x)=logax2+ax∵f-3=f(3)<f(4)，故a>1，函数在0，+∞上为增函数，由偶函数的性质可知f(x)在-∞，0上为减函数∵f(x2-3x)<f(4)，则-4<x2-3x<0或0<x2-3x<4解得-1<x<4，且x≠0，x≠3则不等式f(x2-3x)<f(4)的解集为(-1，0)∪(0，3)∪(3，4).24.【答案】2\n【解答】解：∵4x=9y=6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x+1y=lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2．故答案为：2．25．【答案】或【解析】由于奇函数在上单调递减，且，所以函数在上是减函数，所以不等式的解为所以由知所以故填或.26.【答案】[2，+∞）【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=(12)t，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．27.【解答】解：（1）要使函数有意义：则有&1-x＞0&x+3＞0，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，x=-1±3∵-1±3∈(-3，1)，∴函数f（x）的零点是-1±3（3）函数可化为：f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4-14=22.
