第二章函数的概念与基本初等函数I第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是( )(1)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(2)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期.A.3B.4C.5D.62.[2019北京,3,5分]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x12B.y=2-xC.y=log12xD.y=1x3.[2019全国卷Ⅱ,6,5分]设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+14.[2020山东,8,5分]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]5.[2021大同市调研测试]已知函数f(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为( )A.-5B.1C.2D.36.[2020福州3月质检]已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论:①f(x)是周期函数;②f(x)满足f(x)=f(4-x);③f(x)在(0,2)上单调递减;④f(x)=cosπx2是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( )A.4B.3C.2D.1第5页共5页\n7.[2018江苏,9,5分]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,|x+12|,-2<x≤0,则f(f(15))的值为 . 拓展变式1.(1)函数f(x)=-x2-ax-5,x≤1,ax,x>1是R上的增函数,则a的取值范围为 . (2)[2016天津,13,5分][理]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是 . 2.(1)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=2x+31+2x+1,则函数y=[f(x)]的值域为( )A.(12,3)B.(0,2]C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}(2)已知函数f(x)=sinπx22x-1+2-x+1(x>0),则函数f(x)的最大值是 . 3.[新课标全国Ⅰ,5分][理]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.[2021陕西模拟]若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则( )A.f(-2)<f(-3)<g(-1) B.g(-1)<f(-3)<f(-2)C.f(-2)<g(-1)<f(-3) D.g(-1)<f(-2)<f(-3)5.[2021贵阳市摸底测试]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12).则f(8)=( )A.-2B.-1C.0D.26.(1)[2021山东新高考模拟]已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是( )A.m+n>1B.m+n<1C.m-n>-1D.m-n<-1(2)[2020广西师大附中4月模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+2x,0≤x<1,ax2+bx,-1<x<0,则f(logba)+f(a)+f(2021b)= . 第5页共5页\n答案第二讲 函数的基本性质1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔x1>x2,f(x1)>f(x2)或x1<x2,f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间D上是增函数,故(2)正确;对于(3),若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故(3)正确;对于(4),若函数y=f(x+b)是奇函数,则f(-x+b)=-f(x+b),则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,故(4)正确;对于(5),根据偶函数的性质可知,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,故(5)正确;对于(6),当n=0时,nT=0,此时nT不是函数f(x)的周期,故(6)错误.故(2)(3)(4)(5)正确,故选B.2.A 对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A正确;选项D中的函数y=1x可转化为y=x-1,所以函数y=1x在(0,+∞)上单调递减,故选项D不符合题意;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递减,当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2-x可转化为y=(12)x,因此函数y=2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log12x在(0,+∞)上单调递减,故选项C不符合题意.故选A.3.D 解法一 依题意得,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选D.解法二 依题意得,f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=1-e,结合选项知,选D.4.D 解法一 由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.解法二 当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除A,C.故选D.5.B 由题意可知,函数f(x)的定义域为R.令g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1),则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln[(-x)+(-x)2+1]=-ax3-bsinx+cln(-x+x2+1)(x+x2+1)x+x2+1=-ax3-bsinx+cln1x+x2+1=-ax3-bsinx-cln(x+x2+1)=-g(x),所以函数g(x)=ax3+bsinx+cln(x+x2+1)为奇函数.(题眼)又f(x)max=g(x)max+3=5,所以g(x)max=2,于是g(x)min=-2,第5页共5页\n所以f(x)min=g(x)min+3=-2+3=1,故选B.6.B 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又其图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x),则f(x+2)=-f(x),由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以①正确;f(-x)=f(x)=f(x+4),把x替换成-x可得f(x)=f(4-x),所以②正确;f(x)=cosπx2是定义在R上的偶函数,且(1,0)是它的图象的一个对称中心,所以④正确;不妨令f(x)=-cosπx2,此时f(x)满足题意,但f(x)在(0,2)上单调递增,所以③错误.所以正确结论的个数是3.故选B.7.22 因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以4为函数f(x)的周期.因为在区间(-2,2]上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,|x+12|,-2<x≤0,所以f(f(15))=f(f(-1))=f(12)=cosπ4=22.1.(1)-3≤a≤-2 由题意,得-a2≥1,a<0,a≥-1-a-5,解得-3≤a≤-2.(2)(12,32) 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(-2),且f(-2)=f(2),所以-2<2|a-1|<2,则|a-1|<12,所以12<a<32.2.(1)C f(x)=2x+31+2x+1=12(1+2x+1)+521+2x+1=12+52(1+2x+1),因为2x+1>0,所以0<11+2x+1<1,所以12<12+52(1+2x+1)<3,即12<f(x)<3,所以y=[f(x)]的值域为{0,1,2},故选C.(2)12 因为f(x)=sinπx22x-1+2-x+1,设f1(x)=2x-1+2-x+1,所以f1(x)=2x-1+12x-1≥22x-1·12x-1=2,当且仅当2x-1=12x-1,即x=1时取等号,即当x=1时,f1(x)min=2.设f2(x)=sinπx2,则f2(x)max=f2(1)=sinπ2=1,所以函数f(x)的最大值是12.3.B 因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.4.D 因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex ①,所以f(-x)+2g(-x)=e-x,即f(x)-2g(x)=e-x ②.联立①②,解得f(x)=ex+e-x2,g(x)=ex-e-x4,所以f(-2)=e-2+e22>0,f(-3)=e-3+e32>0,g(-1)=e-1-e4<0.因为f(-3)-f(-2)=e-3+e32-e-2+e22=(e-1)(e2-e-3)2>0,所以g(-1)<f(-2)<f(-3),故选D.5.D 因为当x>12时,f(x+12)=f(x-12),所以当x>12时,f(x)的周期为1,所以f(8)=f(7×1+1)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,所以f(8)=2,故选D.6.(1)C 因为f(-x)=e-x-exe-x+ex=-ex-e-xe-x+ex=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)=ex-e-xex+e-x=1-2e2x+1,所以f(x)为增函数.则f(2m-n)+f(2-n)>0⇒f(2m-n)>f(n-2)⇒2m-n>n-2,即m-n>-1.第5页共5页\n(2)34 当0<x<1时,-1<-x<0,f(x)=-x2+2x,f(-x)=a(-x)2+b(-x)=ax2-bx,由f(-x)=-f(x),得ax2-bx=-(-x2+2x),求得a=1,b=2.又函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数.所以f(logba)+f(a)+f(2021b)=f(log21)+f(1)+f(20212)=f(0)+f(1)+f(1010+12)=f(0)+[-f(0)]+f(12)=f(12)=34.第5页共5页
