课后限时集训(三十)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时：40分钟一、选择题1．函数y＝sin在区间上的简图是( )A BC DA [令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D．由f＝0，f＝0，排除C，故选A．]2．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－B．C．1D．D [由题意可知该函数的周期为，∴＝，ω＝2，f(x)＝tan2x.∴f＝tan＝.]3．(2020·张家口模拟)要得到函数f(x)＝cos的图象，可将函数g(x)＝sinx的图象( )A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度\nD．向右平移个单位长度B [f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin，因此只需将函数g(x)＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，故选B．]4．(2020·南昌模拟)已知函数f(x)＝asinωx＋acosωx(a＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则实数a，ω的值分别为( )A．a＝2，ω＝2B．a＝2，ω＝1C．a＝2，ω＝D．a＝2，ω＝C [由f(0)＝2得a＝2，则f(x)＝2sinωx＋2cosωx＝2sin.由f(0)＝f及结合图形知，函数f(x)在x＝处取得最大值，∴ω＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝12k＋，k∈Z.∵＞，即＞，∴0＜ω＜3，∴ω＝，故选C．]5.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f(x)的最小正周期为2；②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；\n③f(x)在，k∈Z上是减函数；④f(x)的最大值为A．则正确结论的个数为( )A．1B．2C．3D．4B [由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]6．(2020·福州三模)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，把f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )A．g(x)＝－cos4xB．g(x)＝cos4xC．g(x)＝－cosxD．g(x)＝cosxD [依题意，知＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝sin.把f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，即y＝cosx的图象，故g(x)＝cosx，故选D．]二、填空题7．(2020·无锡模拟)若函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝. [把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos(2x－π＋\nφ)的图象．由题意知cos(2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，由0＜φ＜π知φ－＝－，即φ＝.]8．函数f(x)＝sinx＋cosx的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为． [函数f(x)＝sinx＋cosx＝sin，其图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数y＝sin为偶函数，则－t＋＝＋kπ(k∈Z)，即t＝－－kπ(k∈Z)，又t＞0，∴当k＝－1时，tmin＝.]9．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝. [依题意，x＝＝时，y有最小值，∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，又ω＞0，令k＝0，得ω＝.]三、解答题10．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.\n(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[解] (1)因为T＝＝π，所以ω＝2，又因为f＝cos＝cos＝－sinφ＝，且－＜φ＜0，所以φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝cos.列表：2x－－0πx0πf(x)10－10描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．[解] (1)由图象可知，A＝2.因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.由π＝，解得ω＝2.\n又函数f(x)的图象经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)≥f＝1，符合题意；当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，所以f(x)＜f＝1，不符合题意．综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.1.(2020·运城模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是( )A．f(x)的最小正周期为B．f(x)的最大值为4C．是f(x)的一个对称中心D．函数f(x)在区间上单调递增\nD [由图象知函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，则ω＝4，即f(x)＝Asin(4x＋φ)，又由f＝A，得sin＝1，由0＜φ＜π，可知φ＝，从而f(x)＝Asin，又f(0)＝2，可得Asin＝2，所以A＝4，从而f(x)＝4sin，易判断A、B正确．而f＝0，所以C正确，又由x∈，4x＋∈，故函数f(x)在区间上不单调，故选项D错误，故选D．]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )A．R＝6，ω＝，φ＝－B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减D．当t＝20时，|PA|＝6C [由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sinφ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；\nf(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C．]3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．[解] (1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|＜，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，令t＝sin，t∈[－1,1]，\n记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.1．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．(1)当t＝5s时点P离水面的高度m；(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为．(1)2＋2 (2)h(t)＝4sin＋2(t≥0)[(1)t＝5s时，水轮转过角度为×5＝，即点P转到点A处，过点P0，A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴∠MOP0＝.在Rt△AON中，∠AON＝，∴AN＝4×sin＝2，此时点A(P)离开水面的高度为(2＋2)m.\n(2)由题意可知，ω＝＝，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，由条件得h(t)＝4sin＋2.将t＝0，h(0)＝0代入，得4sinφ＋2＝0，∴φ＝－，∴所求函数的解析式为h(t)＝4sin＋2(t≥0)．]2．[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a＞0)，且满足．(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．[解] (1)f(x)＝asin－2cos2＝asin－cos－1＝asin－cos－1＝asin＋sin－1＝(a＋1)sin－1.若选①，解答过程如下：因为f(x)的最大值为1，所以a＋1＝2，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.若选②，解答过程如下：因为f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，且函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以－3是函数f(x)的最小值．\n因为a＞0，所以a＋1＞0，所以f(x)的最小值为－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1.若选③，解答过程如下：由f＝0，得(a＋1)sin－1＝(a＋1)sin－1＝0，即－1＝0，解得a＝1.所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)令f(x)＝1，结合(1)得sin＝1，解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，则x＝或x＝.所以实数m的取值范围是.
