课时规范练30 等比数列及其前n项和 基础巩固组1.(2020安徽安庆二模,理5)等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3a6=2a52,S4=152,则a2+a4=( )A.32B.52C.32D.402.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=( )A.81B.24C.-81D.-243.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且7S2=4S4,则公比q的值为( )A.1B.1或12C.32D.±324.(2020湖南郴州一模)在数列{an}中,a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )A.126B.256C.255D.2545.(2020广东惠州联考)已知数列{an}为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )A.15B.212C.6D.36.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=( )A.63B.62C.61D.607.(2020辽宁大连24中一模,4)在公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的公差等于( )A.1B.2C.3D.48.(2019全国1,理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5= . 9.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8= . 10.(2020四川绵阳三模,理17)若数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=23Sn.(1)求Sn;(2)设bn=1Sn,求证:b1+b2+b3+…+bn<52.\n综合提升组11.(2020全国2,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )A.2B.3C.4D.512.(2020湖南常德一模,文7)等比数列{an}的各项均为正数,已知向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),且m·n=4,则log2a1+log2a2+…+log2a11=( )A.5B.112C.132D.2+log2513.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是( )A.24里B.36里C.48里D.60里14.(2020湖南常德一模,文17)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.创新应用组15.(2020河南驻马店二模,文16)在数列{an}中,a1=1,an≠0,曲线y=x3在点(an,an3)处的切线经过点(an+1,0),下列四个结论:①a2=23;②a3=13;③∑i=14ai=6527;④数列{an}是等比数列,其中所有正确结论的编号是 . 16.(2020广东广州一模,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,2Sn-an=12n-1(n∈N*).(1)求an+an+1;(2)令bn=an+2-an,证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.\n参考答案课时规范练30 等比数列及其前n项和1.B 设等比数列{an}的公比为q,因为a3a6=2a52,所以a4a5=2a52,所以q=a5a4=12.因为S4=152,所以a1(1-q4)1-q=152,解得a1=4,所以a2=2,a4=12,a2+a4=52.故选B.2.C 设等比数列{an}的公比为q,已知S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),令n=1,则S2=4a1,可得a2=3a1,q=3.∵a1a2a3=-27,∴a23=-27,解得a2=-3,∴a1=-1,则a5=-34=-81.3.C 因为7S2=4S4,所以3(a1+a2)=4(S4-S2)=4(a3+a4),故q2=34,因为数列{an}为正项的等比数列,故q>0,所以q=32,故选C.4.D 在数列{an}中,满足an2=an-1an+1(n≥2),则数列{an}为等比数列.设其公比为q,由a1=2,a6=64,得q5=a6a1=32,则q=2,则S7=2×(1-27)1-2=28-2=254.5.C 由2a1,2,2a6成等比数列,可得4=2a1·2a6=2a1+a6,即a1+a6=2,又数列{an}为等差数列,所以{an}前6项的和为12×6(a1+a6)=6.6.A 由于a1,a2,a3成等差数列,则2a2=a1+a3,则a1=2a2-a3=2m-n,由于b1,b2,b3成等比数列,则b22=b1b3,则b1=b22b3=m2n,所以a1-b1=2m-n-m2n=2mn-n2-m2n=-(m-n)2n,因为m,n为正数,且m≠n,所以a1-b1=-(m-n)2n<0,即a1<b1.故选A.7.A 由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即3,12,S6-15成等比数列,所以S6-15=12×4,解得S6=63.8.B 设数列{an}的公差为d,且d≠0.∵a1+a2+a5=13,∴3a1+5d=13.①∵a1,a2,a5成等比数列,∴(a1+d)2=a1(a1+4d),②解①②组成的方程组,可得d=2.故选B.9.1213 设等比数列{an}的公比为q,\n则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.∵a42=a6,∴19q6=13q5.∵q≠0,∴q=3.∴S5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.10.32 设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634-74=14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=74,∴a1+a2+a3=74.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3=1474=8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=74,a1=14,∴a8=a1·q7=14×27=32.11.(1)解由an+1=23Sn,可得Sn+1-Sn=23Sn,即Sn+1=53Sn,由a1=1,可得S1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为53的等比数列,则Sn=53n-1;(2)证明因为bn=1Sn=35n-1,所以b1+b2+b3+…+bn=1-(35) n1-35=52-52×35n<52.12.C ∵am+n=am·an,令m=1,又a1=2,∴an+1=a1·an=2an,∴an+1an=2,∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n.∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·1-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.∴k+11=15,k+1=5,解得k=4.13.B 因为向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),m·n=4,所以m·n=a5a7+a4a8=4,因为{an}是等比数列,所以a5·a7=a4·a8=2,所以a1·a11=2,所以log2a1+log2a2+…+log2a11=log2(a1·a11)112=log22112=112.故选B.14.B 记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=12的等比数列,由S6=378,得S6=a11-1261-12=378,解得a1=192,∴a4+a5=192×123+192×124=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了36里,故选B.15.(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,∴数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)得an+1=2n,∴an=2n-1,\n∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.故Sn=2n+1-n-2.16.①③④ ∵y'=3x2,∴曲线y=x3在点(an,an3)处的切线方程为y-an3=3an2(x-an),∵该切线经过点(an+1,0),∴-an3=3an2(an+1-an).∵an≠0,∴an+1=23an,又a1=1,∴{an}是首项为1,公比为23的等比数列.∴a2=23,a3=49,∑i=14ai=1-2341-23=6527.故所有正确结论的编号是①③④.17.解(1)由2Sn-an=12n-1,①则2Sn+1-an+1=12n,②②-①,可得2an+1-an+1+an=12n-12n-1=-12n,所以an+an+1=-12n.(2)由(1)可知an+an+1=-12n,③则an+1+an+2=-12n+1,④④-③,可得an+2-an=-12n+1--12n=12n+1,则bn=12n+1,且bn+1=12n+2.令n=1,则b1=14.又因为bn+1bn=12n+212n+1=12,所以数列{bn}是首项为14,公比为12的等比数列.所以Tn=14(1-12n)1-12=121-12n=12-12n+1.
