课时作业(四十九)两条直线的位置关系、点到直线的距离一、选择题1．当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：解方程组得交点坐标为.因为0<k<，所以<0，>0.故交点在第二象限．2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A．0B．2C．D．4答案：B解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间距离d＝＝2.3．点A(1,1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( )A．2B．2－C．2＋D．4答案：C解析：由点到直线的距离公式，得d＝＝2－sin，又θ∈R，所以dmax＝2＋.故应选C.4．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1＋P2i所对应的点P与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是( )A．P在直线l2右下方B．P在直线l2右上方6\nC．P在直线l2上D．P在直线l2左下方答案：D解析：易知当且仅当≠时两条直线只有一个交点，而＝的情况有三种：a＝1，b＝2(此时两直线重合)；a＝2，b＝4(此时两直线平行)；a＝3，b＝6(此时两直线平行)．而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交概率P2＝1－＝；两条直线平行的概率P1＝＝，P1＋P2i所对应的点P为，易判断P在l2：x＋2y＝2的左下方，故应选D.5．(2015·济宁模拟)a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )A.B．C.D．答案：B解析：因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b.故直线ax＋3y＋b＝0化为(1－2b)x＋3y＋b＝0.整理得(1－2x)b＋(x＋3y)＝0.所以当x＝，y＝－时上式恒成立．所以直线ax＋3y＋b＝0过定点.故应选B.6．点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是(0°≤θ≤180°)，那么θ＝( )A．150°B．30°或150°C．30°D．30°或210°答案：B解析：由题意知＝＝|sinθ－sin2θ|，又0≤sinθ≤1，∴sin2θ－sinθ＋＝0，2＝0.6\n∴sinθ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°.7．(2015·济南模拟)直线x＋ay＋6＝0与直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行的一个必要不充分条件是( )A．a＝－1B．a＝3C．a≠0D．－1<a<3答案：C解析：若两直线平行，则a(a－2)＝1×3，且1×2a≠(a－2)×6，解得a＝－1，于是可以推出a≠0；反之，当a≠0时，不一定能推出两直线平行，故应选C.8．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )A.B．C.D．答案：A解析：由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.∴点P(3,2)到直线l的距离为＝.故应选A.9．(2015·青岛模拟)已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为( )A．0B．2C．4D．答案：B解析：若b＝2，两直线方程为y＝－x－1和x＝，此时两直线相交但不垂直．若b＝－2，两直线方程为x＝－和y＝x－，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，此时，两直线方程为y＝－x－和y＝－x＋，此时两直线的斜率分别为－，－6\n，由－·＝－1，得a2＋b2＝4.因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值是2，当且仅当a＝b＝时取等号，故应选B.10．(2014·衡水中学四调)在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0；④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值是1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：对于①，设动点M(x，y)，则由条件可得|x－0|＋|y－0|＝1，即|x|＋|y|＝1，其图象为一个正方形，如图．故①正确，②不正确．对于③，由已知，得|x＋1|＋|y－0|＝|x－1|＋|y－0|，解得x＝0，故③正确．对于④，得到||x＋1|＋|y－0|－|x－1|－|y－0||＝1，化简得||x＋1|－|x－1||＝1，解得|x＋1|－|x－1|＝±1，解得x＝±，故是两条平行线，所以④正确．故应选C.二、填空题11．(2015·浙江教育考试院抽测)已知点O(0,0)，A(2,0)，B(－4,0)，点C在直线l：y＝－x上．若CO是∠ACB的平分线，则点C的坐标为________．6\n答案：(4，－4)解析：设点C坐标为(a，－a)，点A，B到直线l的距离分别为hA，hB，则＝，即＝，解得a＝4或a＝0(舍去)，所以点C的坐标为(4，－4)．12．(2015·辽宁六校联考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．答案：3或5解析：当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足截距不相等，经检验，知k＝3或k＝5时两直线的截距都不相等，故填3或5.13．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．答案：解析：|AB|＝＝，∴|AB|min＝＝.14．已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值是________．答案：2解析：点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1，－1)，则|PA|＝|PC|，设BC与x轴的交点为M，则|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝2.由三角形两边之和大于第三边知，当P不与M重合时，|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|>|BC|，故当P与M重合时，|PA|＋|PB|取得最小值2.15．已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．6\n答案：解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图所示，所以四边形的面积S＝[(4－k)＋4]×2＋×4×[(2k2＋2)－2]＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.6
