两条直线的位置关系[考试要求] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：\nA1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )A．B．2－C．－1D．＋1C [由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.]2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝.1 [由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为．－9 [由得所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是．2 [由两直线平行可知＝，即m＝8.∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝＝2.]考点一 两条直线的位置关系 由一般式确定两直线位置关系的方法\n直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2平行的充要条件A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2相交的充要条件A1B2≠A2B1l1与l2重合的充要条件A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C11．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )A．B．C．D．D [由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.]3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )A．B．C．D．D [∵三条直线不能构成一个三角形，∴①当l1∥l3时，m＝；②当l2∥l3时，m＝－；③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D．]点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”\n考点二 两条直线的交点与距离问题 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A．1B．C．D．2(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为．(3)已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为．(1)B (2)x＋3y－5＝0或x＝－1 (3)2x＋3y－1＝0[(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B．法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.\n当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．(3)∵P(2,3)在已知的两条直线上，∴∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.]点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点．1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A．B．C．D．C [因为＝≠－，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]2．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为．x＋2y－7＝0 [由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋C＝0，则1＋2×3＋C＝0，∴C＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.]考点三 对称问题 对称问题的求解方法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 中心对称问题[典例2－1] 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．x＋4y－4＝0 [设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－\na,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解． 轴对称问题[典例2－2] (1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )A．(－2,4)B．(－2，－4)C．(2,4)D．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为．(1)C (2)6x－y－6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得∴A′(4，－2)，由题意知，A′在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.]点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1.如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )A．3B．6C．2D．2C [直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]\n2．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝. [由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.]
