第九章 直线和圆的方程第一讲 直线方程与两直线的位置关系练好题·考点自测1.[改编题]下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角越大,其斜率越大B.若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为αC.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离2.[2020全国卷Ⅱ,5,5分][理]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )A.55B.255C.355D.4553.[2021安徽示范高中联考]已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为( )A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=04.[2016浙江,4,5分]若平面区域x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B.2C.322D.55.[2016四川,9,5分][理]设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)6.[2020四川五校联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB=( )A.30°B.45°C.60°D.90°7.[2021上海模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 8.[2021山西摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是 . 第5页共5页\n拓展变式1.(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= . (2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为 . 2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l'的方程;(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l'的方程;(3)若直线l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l'的方程.3.(1)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y=-33x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,12),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为( )A.332B.23C.532D.33(2)[2019江苏,10,5分]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 答案第一讲 直线方程与两直线的位置关系1.C 对于选项A,当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1<k2,故选项A错误;对于选项B,tanα中的α不一定在[0,π)内,倾斜角α必在[0,π)内,故选项B错误;对于选项D,截距不是距离,截距可为正数、负数或零,而距离只能是零或正数,选C.2.B 因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2×1-1-3|22+(-1)2=255或|2×5-5-3|22+(-1)2=255,故选B.3.B 易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-1kAB=32,所以直线l2的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.第5页共5页\n4.B 不等式组x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0表示的平面区域如图D9-1-1中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.图D9-1-15.A 不妨设P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以1x1×(-1x2)=-1,则x1=1x2.又切线l1:y-lnx1=1x1(x-x1),l2:y+lnx2=-1x2(x-x2),于是A(0,lnx1-1),B(0,1+lnx1),所以|AB|=2.由y-lnx1=1x1(x-x1),y+lnx2=-1x2(x-x2),解得xP=2x1+1x1,所以S△PAB=12×2×xP=2x1+1x1.因为x1>1,所以x1+1x1>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.6.C 解法一 如图D9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).所以|PC|=(-1+3)2+(5-3)2=22.设∠APC=α,则∠APB=2α,在△APC中,sinα=|AC||PC|=222=12,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.图D9-1-2解法二 如图D9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径r=2,sin∠APC=|AC||PC|=12,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.第5页共5页\n7.3x-2y=0或x-y+1=0 当直线过原点时,直线的斜率为k=3-02-0=32,此时直线方程为y=32x,即3x-2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y-a=1,把(2,3)代入可得a=-1,此时直线方程为x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.8.18 由两条直线互相垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=12(a·2b)≤12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时取等号.故ab的最大值是18.1.(1)12 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.(2)21x-28y-13=0或x=1 因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得|(2+7λ)×(-3)+(7-21λ)×1-4-λ|(2+7λ)2+(7-21λ)2=|(2+7λ)×5+(7-21λ)×7-4-λ|(2+7λ)2+(7-21λ)2,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.2.(1)解法一 直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为-34.又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.解法二 由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)解法一 直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为43.又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.解法二 由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.(3)由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+p=0,则l'在x轴上的截距为-p4,在y轴上的截距为p3.由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|p3|·|-p4|=4,求得p=±46.所以直线l'的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.第5页共5页\n3.(1)C 过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22-12=3.直线AB的方程可化为3x+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+3×12-3|(3)2+32=3,解得m=-332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.(2)4 解法一 设P(x,x+4x),x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x2≥22x·4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二 由y=x+4x(x>0)得y'=1-4x2,令1-4x2=-1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.第5页共5页
