规范答题示范课——解析几何解答题 [破题之道] 解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【典例示范】(12分)(2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.规范解答 (1)由题设可得＝，得m2＝，2分所以C的方程为＋＝1.3分(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝yP，|BQ|＝.5分因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8).7分\n所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝.9分|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.11分综上，△APQ的面积为.12分[高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问，求椭圆C的方程；第(2)问表示出|BP|与|BQ|，分两种情况求△APQ的面积.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中由离心率求m2；第(2)问中求直线BP的方程、直线P1Q1与直线P2Q2的方程等.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问求对m2及曲线C的方程，否则全盘皆输；第(2)问中正确计算点P，Q的坐标，否则将导致失分.[满分体验](2020·东北三省三校联考)直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，已知m＝(ax1，by1)，n＝(ax2，by2)，椭圆的离心率e＝，且经过点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)当m⊥n时，△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解 (1)由题意得，解得所以椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)①当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，由m⊥n，即m·n＝0，得4x－y＝0，所以y＝4x.又A(x1，y1)在椭圆C上，所以＋x＝1，解得|x1|＝，所以|y1|＝，\n所以S△AOB＝|x1||y1－y2|＝|x1|·2|y1|＝1，此时△AOB的面积为定值.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋t(t≠0)，由消去y并整理得(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.由题意知Δ＝4k2t2－4(k2＋4)(t2－4)＞0，(*)x1＋x2＝，x1x2＝.由m⊥n，即m·n＝0，得4x1x2＋y1y2＝0，所以4x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(k2＋4)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.所以(k2＋4)·＋kt·＋t2＝0，整理得2t2－k2＝4，满足(*)式.从而S△AOB＝··|AB|＝＝·＝＝＝1，此时△AOB的面积为定值.综合①②可得，△AOB的面积为定值1.
