规范答题示范课——函数与导数解答题[破题之道] 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理.【典例示范】(12分)(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.切入点：利用导数判定函数单调性，找区间零点.关键点：利用f(x)的零点x0，确定切点坐标，求切线方程.[规范解答] (1)解 f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增.2分因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(e<x1<e2)，即f(x1)＝0.4分又0<<1，f＝－lnx1＋＝－f(x1)＝0，故f(x)在(0，1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点.6分(2)证明 因为＝e－lnx0，所以点B在曲线y＝ex上.7分\n由题设知f(x0)＝0，即lnx0＝，故直线AB的斜率k＝＝＝.9分又曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线.12分[高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，判断单调性，利用零点存在定理确定零点个数；第(2)问中，由f(x0)＝0定切点B，求切线的斜率.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问中，找关系lnx0＝，判定两曲线在点B处切线的斜率相等.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，判定f(x1)＝－f＝0.第(2)问中，正确计算kAB等，否则不得分.[满分体验]1.已知函数f(x)＝－ax2＋ex－1(0≤a≤).(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，求a的值；(2)求证：当x>0时，f(x)>0.(1)解 由函数f(x)＝－ax2＋ex－1，可得f′(x)＝ex－2ax，∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，∴f′(1)＝e－2a＝e，∴a＝0.(2)证明 由(1)知f′(x)＝ex－2ax，令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex－2a(x>0)，①当0≤a≤时，h′(x)>0，h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，f′(x)>f′(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)>f(0)＝0，满足题意.\n②当<a≤时，令h′(x)＝ex－2a＝0，解得x＝ln(2a)，当x∈(0，ln(2a))时，h′(x)<0，f′(x)＝h(x)在(0，ln(2a))上单调递减；当x∈(ln(2a)，＋∞)时，h′(x)>0，f′(x)＝h(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.∴f′(x)min＝f′(ln(2a))＝eln(2a)－2aln(2a)＝2a(1－ln(2a))，∵<a≤，∴1－ln(2a)≥0，∴f′(x)min≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)>f(0)＝0，满足题意，综上，当x>0时，f(x)>0.2.(2020·武汉检测)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x＋m(m∈R).(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1<x2，求证：x1x2<1.(1)解 令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x－m(x>0)，则F′(x)＝－1＝(x>0)，当x>1时，F′(x)<0，当0<x<1时，F′(x)>0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增.F(x)在x＝1处取得最大值－1－m，若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1.故m的取值范围为[－1，＋∞).(2)证明 由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1，0<x1<1<x2，要证x1x2<1，只需证x2<，由于F(x)在(1，＋∞)上单调递减，从而只需证F(x2)>F，由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝lnx1－x1，即证ln－－m＝ln－＋x1－lnx1<0，令h(x)＝－＋x－2lnx(0<x<1)，则h′(x)＝＋1－＝>0，故h(x)在(0，1)上单调递增，\nh(x)<h(1)＝0，所以x1x2<1.
