命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒qp是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件pq，且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，\n弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题A [令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C．]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B [若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x\n的值也可能为－2.故选B．]4．命题“若α＝，则sinα＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假 假 [若α＝，则sinα＝的逆命题为“若sinα＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sinα≠”是假命题．]考点一 命题及其关系 判断命题真假的两种方法1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0D [x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D．]2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0B [原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B．]3．下列命题为假命题的是( )A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题\nC．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D [对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D．]点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．考点二 充分、必要条件的判定 判断充分、必要条件的三种方法[典例1] (1)设p：x<3，q：－1<x<3，则q是p成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)设a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B (2)A (3)B [(1)p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q.则q是p成立的充分不必要条件．故选B．(2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A．\n(3)(等价转化法)问题转化为判断“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的什么条件．由a＋b＝3a＝1且b＝2，反之，a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，因此“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的必要不充分条件，从而“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件，故选B．]点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．1．已知a，b都是实数，那么“3a＞3b”是“a3＞b3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C [3a＞3b⇒a＞b⇒a3＞b3，反之a3＞b3⇒a＞b⇒3a＞3b，因此3a＞3b是a3＞b3的充要条件，故选C．]2．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [由＜得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1，因为0＜x＜1⇒x＜1，但x＜10＜x＜1，所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选A．]考点三 充分条件、必要条件的探求与应用1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 充分条件、必要条件的探求[典例2－1] 不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)B [解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B．] 利用充分、必要条件求参数的取值范围\n[典例2－2] 已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又S为非空集合，则∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]．][母题变迁]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．[解] 由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则解得m≥9，即所求m的取值范围是[9，＋∞)．1．命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10C [由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9.因此a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C．]2．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b＞0B．a－b＞0C．ab＞1D．＞1A [a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，但a＋b＞0a＞0，b＞0.因此a＋b＞0是a＞0，b＞0的一个必要不充分条件，故选A．]3．设p：1＜x＜2；q：(x－a)(x－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意知{x|1＜x＜2}{x|(x－a)(x－1)≤0}，则a＞1，即{x|1＜x＜2}{x|1≤x≤a}，从而a≥2.]
