课后限时集训(二十八) 三角函数的图象与性质建议用时：40分钟一、选择题1．函数y＝的定义域是( )A．B．C．D．D [由题意知2cos2x＋1≥0，即cos2x≥－.∴2kπ－π≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝( )A．2B．C．1D．A [由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.]3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是( )A．f(x)＝|sin2x|B．f(x)＝tan|x|C．f(x)＝－cos2xD．f(x)＝cos|2x|C [函数f(x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B.函数f(x)＝|sin2x|在上不是单调函数，故排除A.函数f(x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，综上知选C.]\n4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为( )A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2D [y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.]5．已知函数f(x)＝sin(0＜ω＜π)，f＝0，则函数f(x)的图象的对称轴方程为( )A．x＝kπ－，k∈ZB．x＝kπ＋，k∈ZC．x＝kπ，k∈ZD．x＝kπ＋，k∈ZC [f(x)＝sin＝cosωx，则f＝cos＝0，∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，即f(x)＝cos2x.由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C.]6．(多选)(2020·深圳月考)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x，则下列结论正确的是( )A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的图象关于点成中心对称C．f(x)的图象关于直线x＝－对称D．f(x)的单调递增区间是(k∈Z)BCD [已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，则：A．函数f(x)的最小正周期为π，故A错误．\nB．由于f＝0，函数f(x)图象关于对称，故B正确．C．当x＝－时，f＝2sin＝－2，故函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，C正确．D．当x∈(k∈Z)时，2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，所以函数f(x)在(k∈Z)上是单调增函数，故D正确．故选BCD.]二、填空题7．函数y＝cos的单调递减区间为________．(k∈Z) [因为y＝cos＝cos，所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]8．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________. [由题意知ω＝，解得ω＝.]9．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．－ [f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，因为函数f(x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tanθ＝tan＝－.]三、解答题10．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.\n(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解] (1)由T＝2知＝2得ω＝π.又当x＝时f(x)max＝2，知A＝2.且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴f(x)＝2sin＝2sin.(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5.故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.11．已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．[解] (1)f(x)＝a·b＋＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋π(k∈Z)．\n(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，则x1＋x2＝，∴cos(x1－x2)＝cos＝cos＝cos＝sin＝f(x1)＝.1．(多选)(2020·聊城三模)已知函数f(x)＝|sinx|＋cosx，则下列正确的是( )A．2π为f(x)的周期B．对于任意x∈R，函数f(x)都满足f(π＋x)＝f(π－x)C．函数f(x)在上单调递减D．f(x)的最小值为－ABC [根据题意，函数f(x)＝|sinx|＋cosx＝依次分析选项：A．f(x)＝|sinx|＋cosx，其最小正周期为2π，故A正确；B．若f(π＋x)＝f(π－x)，则函数f(x)关于x＝π对称，即f(2π＋x)＝f(－x)，则f(2π＋x)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sinx|＋cosx，f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx，则f(2π＋x)＝f(－x)，即f(π＋x)＝f(π－x)成立，故B正确；C．当x∈时，x＋∈，函数f(x)＝sin单调递减，故C正确；D．当2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，此时f(x)∈[－1，]，∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)值域为[－1，]，故D错误．故选ABC.]2．(多选)已知函数f(x)＝sinx·sin－的定义域为[m，n](m＜n)，值域为\n，则n－m的值不可能是( )A．B．C．D．CD [f(x)＝sinx·sin－＝sinx－＝sin2x＋sinxcosx－＝(1－cos2x)＋sin2x－＝＝sin.作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题．易得或满足题意，所以n－m的值可能为区间内的任意实数．所以选项A，B可能，选项C，D不可能．]3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜ω＜1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．[解] (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx.因为图象关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝.(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f(x)的递增区间是，k∈Z.\n(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )A．－B．－C．D．C [法一：∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.法二：∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx.又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴f′(θ)＝cosθ－sinθ＝0，即tanθ＝，则cos＝(cos2θ－sin2θ)＝×＝，故选C.]2．已知函数f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．[解] f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝asin＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，\n得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8.综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
