等差数列及其前n项和[考试要求] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md\n的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.(6)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )A． B． C．2 D．－A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A．]2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )A．31B．32C．33D．34B [设数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，\n又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.法二：由得∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为．487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为．820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.]考点一 等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2nA [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题知，解得∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A．]2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )\nA．－12B．－10C．10D．12B [设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．]3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )A．23B．32C．35D．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C．]点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a1和公差d的等量关系．考点二 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列[典例1] 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所以－＝2，\n又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝点评：证明成等差数列的关键是－为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n＝1的情形．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．[解] (1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.考点三 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．\n(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m. 等差数列项的性质[典例2－1] (1)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝( )A．84B．70C．49D．42(2)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2·2·…·2)＝( )A．10B．20C．40D．2＋log25(3)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )A．0B．37C．100D．－37(1)D (2)B (3)C [(1)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝＝7(a6＋a9)＝42.故选D．(2)log2(2·2·…·2)＝log22＋log22＋…＋log22＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B．(3)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.]点评：一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am. 等差数列前n项和的性质[典例2－2] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )A．35B．42C．49D．63(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2021＝.(1)B (2)4042 [(1)由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，故选B．(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1，\n∴＝＋2020d＝－2018＋2020＝2，∴S2021＝4042.]点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于( )A．39B．20C．19D．10B [数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B．]2．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )A．20B．22C．24D．8C [因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.]3．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为( )A．B．C．D．C [由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C．]考点四 等差数列的前n项和及其最值 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[典例3] 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )A．5B．6C．7D．8\nC [法一：(邻项变号法)由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．法二：(函数法)由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三：(图象法)根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．][母题变迁]将本例中“a1＝13，S3＝S11”改为“a1＝20，S10＝S15”，则Sn最大时，n为何值？[解] 因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0.即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0.所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－＋.因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.所以5a13＝0，即a13＝0.所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．点评：本例用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键．1．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为( )\nA．5B．6C．5或6D．11C [由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[解] (1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.(2)法一：(函数法)由a1＝－10，d＝2，得Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝－，∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an＝2n－12.所以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.
