第4讲定积分与微积分基本定理A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)1．(2022·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于( )．A．0B．4C．8D．16解析 因为f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以－6f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.答案 D2．(2022·垫江模拟)已知f(x)＝2－|x|，则－1f(x)dx等于( )．A．3B．4C.D.解析 f(x)＝2－|x|＝∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.答案 C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )．A.B.C．2D.解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.答案 B4．若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )．A．2B．3C．4D．66\n解析 dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知t>0，若(2x－1)dx＝6，则t＝________.解析 (2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6，解得t＝3(t＝－2舍去)．答案 36．(2022·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析 S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.∴a＋b＝5.①又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝＝a＋b.∴a＋b＝.②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，∴dx＝dx＝dx＝(4x＋3lnx)＝4＋3ln2.8．(13分)如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x26\n＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.6\nB级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )．A.B.C.D.解析 在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x2＋2x＝x，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S＝－1[x－(x2＋2x)]dx＝＝－－＝.答案 A2．(2022·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.B.C.D.解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.解析 f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.答案 0或－16\n4．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．解析 因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.答案 1三、解答题(共25分)5．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得即∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx＝＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.6\n所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.所以当t＝时，S最小，且最小值为.6
