课时作业(四十二)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．(2015·三亚一模)空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与( )A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直答案：B解析：连接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.故应选B.2．(2015·台州模拟)有以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：B解析：①显然是正确的；②中，若A，B，C三点共线则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体(如图)，显然b，c异面，故不正确；④中，空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M7\n答案：D解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，则M∈β，根据公理3，可知M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．故应选D.4．(2015·北京东城区模拟)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案：C解析：A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.5．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面D．重合答案：C解析：将表面展开图折起还原为正方体，如图，故MN与PB异面．6．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面7\nC．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交答案：D解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故应选D.7．(2015·天津和平区模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )A.B．C．D．答案：B解析：连接A1B.由题意知A1D1∥BC.所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1C∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角．不妨设AA1＝2AB＝2，则A1E＝1，BE＝，A1B＝，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝＝，故应选B.8．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD)．其中正确的是( )A．①③B．②④C．②D．④答案：D解析：如图，取BC的中点O，连接MO，NO，则OM＝AC，ON＝BD.在△MON中，MN<OM＋ON＝(AC＋BD)，所以④正确．9．(2015·北京西城区4月)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则( )7\nA．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案：D解析：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．10．(2015·惠州模拟)如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )A.B．C．D．答案：A解析：由题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1.又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角，在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝.在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形7\nDOE中，由余弦定理，得cos∠DOE＝＝，故所求余弦值为.故应选A.二、填空题11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是________边形．答案：六解析：延长PQ(或QP)分别交BC延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD－A1B1C1D1的过P，Q，R三点的截面图形．12．对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．答案：①④解析：由四面体的概念，可知AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC,CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．13．(2015·北京海淀区模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．答案：24解析：正方体如图，7\n若要出现所成的角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC为例，与之构成“黄金异面直线对”的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的“黄金异面直线对”共有＝24(对)．14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．答案：解析：连接DF，如图所示，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，∴cos∠D1FD＝＝.15．(2013·安徽)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①当0<CQ<时，S为四边形；7\n②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.答案：①②③⑤解析：过A作AM∥PQ交DD1或A1D1于M.当0<CQ<时，M在DD1上，连接MQ，则截面为AMQP，故①正确．当CQ＝时，M与D1重合，截面为AD1QP，显然为等腰梯形，②正确．当CQ＝时，M在A1D1上，且D1M＝.过M作MR∥AP交C1D1于R，则△MD1R∽△PBA，从而D1R＝，即C1R＝，故③正确．当<CQ<1时，截面为AMRQP，为五边形，即④错误．当CQ＝1时，M为A1D1的中点，截面AMC1P为菱形，而AC1＝，PM＝，故面积为××＝，⑤正确．7
