课时作业42 直接证明与间接证明一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( )A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．答案：B2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：在B项中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B3．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由sinAsinC<cosAcosC得，cosAcosC－sinAsinC>0，即cos(A＋C)>0，∴A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．答案：C4．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为( )5\nA．0B．1C．2D．3解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．答案：C5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为( )A．P>QB．P＝QC．P<QD．由a取值决定解析：假设P<Q，要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2<2a＋7＋2，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．答案：C6．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则a的取值范围是( )A．a<B．a<且a≠－1C．a>或a<－1D．－1<a<解析：∵f(x)以3为周期，所以f(2)＝f(－1)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)，再由f(1)>1，可得f(2)<－1，即<－1，解得－1<a<.答案：D二、填空题7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，<.∴a<b.答案：a<b8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.5\n解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案：a，b，c，d全是负数9．设a、b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a、b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a＝，b＝，则a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a、b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a、b中至少有一个大于1.答案：③三、解答题10．若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求证：＋<＋.证明：要证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，即a＋d＋2<b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证<，即ad<bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0，故ad<bc成立，从而＋<＋成立．11．已知函数y＝f(x)是R上的增函数．(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)写出(1)中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论．解：(1)∵函数y＝f(x)是R上的增函数，又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.真命题．证明如下：假设a＋b<0，∵y＝f(x)是R上的增函数，∴当a<－b时，f(a)<f(－b)；当b<－a时，f(b)<f(－a)．5\n∴f(a)＋f(b)<f(－b)＋f(－a)，与已知矛盾，∴a＋b<0不成立．∴a＋b≥0.1．设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1,2,3，…，n－1}；②若a∈M，则n－a∈M(n≥2，n∈N*)，则下列结论正确的是( )A．若n为偶数，则集合M的个数为2B．若n为偶数，则集合M的个数为2－1C．若n为奇数，则集合M的个数为2D．若n为奇数，则集合M的个数为2解析：当n＝2时，M⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M，故集合M的个数为1；当n＝3时，M⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M，故集合M的个数为1；当n＝4时，M⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M，故集合M的个数为3，故可排除A，C，D，选B.答案：B2．设f(x)＝ex－1.当a>ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.证明：欲证f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax－1>0.可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则u′(x)＝ex－2x＋2a.令h(x)＝ex－2x＋2a，则h′(x)＝ex－2.当x∈(－∞，ln2)时，h′(x)<0，函数h(x)在(－∞，ln2]上单调递减，当x∈(ln2，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在[ln2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.因为a>ln2－1，所以h(ln2)>2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln2)>0.所以u′(x)＝h(x)>0，即u(x)在R上为增函数．故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.即当a>ln2－1且x>0时，f(x)>x2－2ax.5\n5
