【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第1节数列的概念与简单表示课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．图一则第7个三角形数是________．[解析] 由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案] 282．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.[解析] a10＝S10－S9＝(S9＋S1)－S9＝S1＝a1＝1.[答案] 13．(2014·苏州中学检测)已知数列{an}中，an∈N*，对于任意n∈N*，an≤an＋1，若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，求a50＝________.[解析] 从定义可知数列{an}不是递减数列，小的数一定在前面，故数列各项依次为1个1,2个2,3个3,4个4，…，k个k，由于1＋2＋3＋…＋9＝45，说明a45＝9，a46＝10，又1＋2＋3＋…＋9＋10＝55，故a50＝10.[答案] 104．(2014·南京模拟)已知数列{an}中，an＝n2＋λn(λ是与n无关的实数常数)，且满足a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ的取值范围是________．[解析] 由已知a1<a2<a3<…<an，可知数列是递增的．又an＝n2＋λn是关于n的二次函数，其对称轴为n＝－，∴－<，得λ>－3.5\n[答案] (－3，＋∞)5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析] ∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n.[答案] n6．已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.[解析] 由an＋1－an＝2n＋1得an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a3－a2＝5，a2－a1＝3，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2＋3＋5＋7＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＝2＋＝n2＋1.[答案] n2＋17．(2014·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于________．[解析] ∵Sn＝2an－2，∴a1＝S1＝2a1－2，∴a1＝2，∴S2＝2a2－2＝a1＋a2，即a2＝a1＋2＝4.[答案] 48．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.[解析] 由题意知：a1·a2·a3…an－1＝(n－1)2，∴an＝2(n≥2)，∴a3＋a5＝2＋2＝.[答案] 二、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6(n∈N*)．(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解] (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.5\n(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∵n∈N*，∴数列从第7项起各项都是正数．10．(1)已知数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式an；(2)设{an}是首项为1的正数数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求其通项公式an.[解] (1)∵a1＝1，an－an－1＝3n－1，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－1－an－2)＋(an－an－1)＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝＝.即an＝.(2)由已知递推关系式分解因式可得：(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又an>0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴＝，∴an＝a1···…·＝1····…··＝.即an＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.[解析] ∵ap＋q＝ap＋aq，∴a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.[答案] 42．(2014·扬州中学检测)设f1(x)＝，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]，且an＝5\n，则a2014＝________.[解析] f1(0)＝2，f2(0)＝＝，f3(0)＝，f4(0)＝，…，a1＝＝，a2＝－，a3＝，a4＝－，…，可猜测a2014＝2015.实际上，an＋1＝＝＝＝－an，即数列{an}是公比为－的等比数列，a2014＝×2013＝2015.[答案] 2015二、解答题3．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)∵Sn＝an，且a1＝1，∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1，即＝，于是＝3，＝，＝，…，＝，以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝，∴an＝，n≥2.又a1＝1适合上式，5\n故an＝，n∈N*.5
