【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及线性运算课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么＝________.[解析] 因为D为BC边的中点，∴＋＝2，又2＋＋＝0，∴2＋2＝0，即＝.因此＝2，故＝.[答案] 2．(2014·镇江质检)若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的________条件．[解析] 若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0.因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要3．如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，则k＝________.[解析] ∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，∴＝＋＝3e1－2e2.6\n∵A，C，F三点共线，∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴因此k＝2.[答案] 24．(2014·南京调研)在△ABC中，点D是BC边上的点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λμ的最大值为________．[解析] ∵D在边BC上，且＝λ＋μ，∴λ＞0，μ＞0，且λ＋μ＝1，∴λμ≤2＝，当且仅当λ＝μ＝时，取“＝”号．[答案] 5．(2014·泰州市期末考试)在△ABC中，＝2，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为________．[解析] ＝＋＝＋，而＝－，所以＝＋，所以λ1＝，λ2＝，则λ1λ2＝.[答案] 6．(2014·南京市调研)如图413所示，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点，F为边AB上的点，且＝3，若＝x＋y，x，y∈R，则x＋y的值为________．图413[解析] ∵D为BC的中点，∴＝(＋)＝(3＋2)＝＋，故x＝，y＝1，∴x＋y＝.6\n[答案] 7．(2014·宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为________．[解析] 设AB的中点为D，如图所示，由5＝＋3得3－3＝2－2，即3＝2.故C，M，D三点共线，且＝.所以＝＝＝.[答案] 8．(2014·扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.[解析] 延长AM至点D，连结BD、CD，则ABDC为平行四边形，＋＝，－＝，∵|＋|＝|－|，∴||＝||＝4，∴||＝||＝2.[答案] 2二、解答题6\n9．设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解] (1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0，∴k＝±1.10．在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.图414[解] ⇒＝＝b.＝－＝b－a.由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，得＝＝(b－a)．又＝(＋)＝(a＋b)．6\n⇒＝＝(a＋b)．[B级 能力提升练]一、填空题1．如图415所示，平面内三图415个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．[解析] 以OC为对角线，，方向作平行四边形(如图所示ODCE)．由已知∠COD＝30°，∠COE＝90°，在Rt△OCD中，∵||＝2，则||＝＝4；在Rt△OCE中，||＝||·tan30°＝2，∴＝4，＝2，又＝＋＝4＋2.∴λ＝4，μ＝2，故λ＋μ＝6.[答案] 62．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．[解析] ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋6\n|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．[答案] 直角三角形二、解答题3．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．[解] 如图，记＝，＝，则，都是单位向量，∴||＝||，＝＋，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC.∵＝＋，由条件知＝＋λ，∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．6
