【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第7节抛物线课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·陕西高考)抛物线y2＝4x的准线方程为________．[解析] 由抛物线y2＝4x，得p＝2，故准线方程为x＝－1.[答案] x＝－12．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．[解析] 由题意知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，则轨迹方程为y2＝8x.[答案] y2＝8x3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.[解析] ∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立，得x2－x＋＝0.∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.[答案] 124．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离|MF|＝，则点M的坐标是________．[解析] 设点M(x，y)，抛物线的准线方程为y＝－，由抛物线定义知，y－＝，∴y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以M的坐标为(2,2)或(－2,2)．5\n[答案] (2,2)或(－2,2)5．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．[解析] (1)由于点P在第三象限．①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)把点P(－2，－4)代入得(－4)2＝－2p×(－2)．解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)代入得(－2)2＝－2p×(－4)．解得p＝.∴抛物线方程为x2＝－y.综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.[答案] y2＝－8x或x2＝－y6．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．[解析] 抛物线的准线方程为y＝－2，焦点F的坐标为(0,2)．∵以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，∴|FM|>4.据抛物线的定义知|FM|＝2＋y0，∴2＋y0>4，∴y0>2.[答案] (2，＋∞)7．(2014·南师附中检测)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．[解析] 根据抛物线的定义及梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)－＝－＝.[答案] 8．(2014·苏州调研)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为____________．[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以5\n＝2，又p>0，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.[答案] x2＝16y二、解答题9．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．[解] (1)直线AB的方程是y＝2.与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线的定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线的方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，故x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.10．已知动圆P过点F且与直线y＝－相切．图872(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．[解] (1)根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2＝y.(2)设A(x1，x)，B(x2，x)，∵y＝x2，∴y′＝2x，∴AN，BN的斜率分别为2x1,2x2，故AN的方程为y－x＝2x1(x－x1)，BN的方程为y－x＝2x2(x－x2)，5\n即两式相减，得xN＝.又xM＝，所以M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·镇江调研)如果双曲线－＝1的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为________．[解析] 由y＝x2＋1，得y′＝2x，设切点为(x0，x＋1)．则切线为y－x－1＝2x0(x－x0)，又切线过(0,0)，x0＝±1，y0＝x＋1＝2，则＝2，b＝2a，c2＝a2＋b2＝5a2，则e＝＝.双曲线离心率为.[答案] 2．(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________.[解析] 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶.[答案] 1∶二、解答题3．(2013·上海高考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F.(1)点A，P满足＝－2，当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程．(2)在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设动点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，则＝(x－xA，y－5\nyA)．因为F的坐标为(1,0)，所以＝(xA－1，yA)．由＝－2，得(x－xA，y－yA)＝－2(xA－1，yA)，即解得代入y2＝4x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8－4x.(2)设点Q的坐标为(t,0)，点Q关于直线y＝2x的对称点为Q′(x，y)，则解得若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2＝4x，得4t2＋15t＝0，即t＝0或t＝－.所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0,0)和.5
