第二章函数的概念与基本初等函数I第七讲 函数与方程1.[2021首都师大附中联考]已知函数f(x)=log5(1-x)(x<1),-(x-2)2+2(x≥1),则方程f(|x|)=a(a∈R)的实根个数不可能为( )A.1B.2C.3D.42.[角度创新]已知函数f(x)=|x2+2x|,x≤0,1x,x>0,若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,4-23)B.(4-23,4+23)C.(0,4-23]D.(0,4-23)3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f(x)=exx-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是( )A.[0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.[0,1)4.[2020江淮十校联考]对任意实数x,恒有ex-ax-1≥0成立,关于x的方程(x-a)lnx-x-1=0有两根,为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的为( )A.x1+x2=2B.x1·x2=1C.x1x2=2D.x2=ex15.[2020江西红色七校联考]若函数f(x)=x-x-alnx在区间(1,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为( )A.(0,12)B.(12,e)C.(0,+∞)D.(12,+∞)6.[2019陕西西安三模]若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是( )A.4B.5C.6D.77.[新角度题]函数f(x)=x2-2x-1-|x-1|的所有零点之和等于 . 8.[2021湖北省四地七校联考]若函数f(x)=2x-120x2(x<0)的零点为x0,且x0∈(a,a+1),a∈Z,则a= . 9.[2021贵阳市四校第二次联考]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= . 10.[2021陕西百校联考]已知函数f(x)=|lnx|-2ax恰有三个零点,则实数a的取值范围为 . 第7页共7页\n11.[2021晋南高中联考]已知函数f(x)=|x2+2x|,x≤0,lnx,x>0,则函数g(x)=2f(f(x)-1)-1的零点个数为( )A.7B.8C.10D.1112.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x∈R都满足f(1+x)=f(1-x),当x≤1时,f(x)=lnx,0<x≤1,ex,x≤0.若函数g(x)=m|x|-2与f(x)的图象恰有两个交点,则实数m的取值范围是( )A.m≤0或m=e B.0<m≤32C.32<m<eD.m>e13.[2020合肥市调研检测]设函数f(x)=ex,x∈[0,1),x-1,x∈[1,+∞).若函数y=f(x)-k存在两个零点x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)·f(x1)的取值范围为( )A.[2,e2)B.[1,e2)C.[e,e2)D.[1,e2]14.[2020大同市高三调研]已知f(x)=xlnx,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为( )A.{-e}∪(3-e,+∞)B.{-e}∪(0,3-e)C.(-∞,0)D.{-e}∪[3-e,+∞)15.[条件创新]对任意的实数x,[x]表示不大于x的最大整数,则函数f(x)=x2-[x]-1的零点为 . 16.[2020陕西省百校联考]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有3个互异的实数根,则实数a的取值集合为 . 答案第七讲 函数与方程第7页共7页\n1.A 根据对数函数以及二次函数的性质,结合f(|x|)与f(x)图象的关系作出函数f(|x|)的图象,如图D2-7-6所示,则y=f(|x|)的图象与y=a的图象的交点个数不可能为1,即方程f(|x|)=a(a∈R)的实根个数不可能为1.故选A.2.D 方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,可转化为函数y=f(x)与y=a(x+3)的图象有四个不同的交点,易知直线y=a(x+3)恒过点(-3,0).作出函数f(x)的大致图象,如图D2-7-7所示.结合函数图象,可知a>0且直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈[-2,0]有两个不同的公共点,所以方程x2+(2+a)x+3a=0在[-2,0]内有两个不等的实数根,令g(x)=x2+(2+a)x+3a.则实数a满足Δ=(2+a)2-12a>0,-2<-2+a2<0,g(0)=3a≥0,g(-2)=a≥0,解得0≤a<4-23,又a>0,所以实数a的取值范围是(0,4-23),故选D.3.A 因为f(x)没有零点,所以关于x的方程f(x)=0,即a=exx无实数解.令g(x)=exx,h(x)=a,则函数y=g(x),y=h(x)的图象无公共点.g'(x)=(x-1)exx2,令g'(x)=0,则x=1.当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,且g(x)<0;当0<x<1时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以函数g(x)有极小值g(1)=e,作出g(x)的图象,如图D2-7-8所示,结合图象可得0≤a<e,故选A.图D2-7-84.B 对任意实数x,恒有ex-ax-1≥0成立,则可得a=1,将关于x的方程(x-a)lnx-x-1=0转化为lnx=x+1x-1,x1满足lnx1=x1+1x1-1,则有ln1x1=1x1+11x1-1,结合原方程的两根为x1,x2(x1<x2),得x2=1x1,即x1·x2=1,故选B.5.D 解法一 由题意知f'(x)=1-12x-ax=2x-x-2a2x,当x>1时,令g(x)=2x-x,则g'(x)=2-12x>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)>1.当2a≤1,即a≤12时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,又f(1)=0,所以f(x)在(1,+∞)上无零点;第7页共7页\n当2a>1,即a>12时,存在x0∈(1,+∞),使得f'(x0)=0,所以当1<x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,所以f(x0)<0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点.综上,a的取值范围为(12,+∞).故选D.解法二 当a=10时,f(x)=x-x-10lnx,当x=e时,f(e)<0,当x=100时,f(100)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上存在零点,所以A,B不正确;当a=12时,f(x)=x-x-12lnx,f'(x)=1-12x-12x,当x>1时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增,又f(1)=0,所以当a=12时,f(x)在(1,+∞)上无零点,所以C不正确.选D.6.A 因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的函数.又当x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,所以函数f(x)的图象如图D2-7-9所示.再作出y=log3|x|的大致图象,如图D2-7-9,易得两函数的图象有4个交点,所以方程f(x)=log3|x|有4个根.故选A.7.2 f(x)=x2-2x-1-|x-1|=|x-1|2-|x-1|-2.令t=|x-1|(t≥0),g(t)=t2-t-2=(t+1)(t-2).若g(t)=0,则t=2,所以|x-1|=2,所以x=3或x=-1,故所有零点之和为2.8.-3 由题意可知,因为y=2x和y=-120x2在(-∞,0)上都单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(x0)=0,f(-2)=2-2-120×(-2)2=14-15>0,f(-3)=2-3-120×(-3)2=18-920<0,所以x0∈(-3,-2),所以a=-3.9.-8 因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=-2对称,又f(x-4)=-f(x),所以f(x)=-f(x+4),所以f(x-4)=f(x+4),f(x)=f(x+8),所以f(x)是周期为8的周期函数.因为奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递增,在区间[-6,-2]上单调递减,画出f(x)的可能图象如图D2-7-10所示.作出直线y=m(m>0).不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性可知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-8.图D2-7-10第7页共7页\n10.(0,12e) 由|lnx|-2ax=0(x>0),得2a=|lnx|x,所以函数f(x)=|lnx|-2ax恰有三个零点等价于y=2a与函数g(x)=|lnx|x的图象有三个交点.当0<x<1时,g(x)=-lnxx,g'(x)=lnx-1x2<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减;当x≥1时,g(x)=lnxx,g'(x)=1-lnxx2,由g'(x)>0,得1≤x<e,由g'(x)<0,得x>e,所以函数g(x)在[1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以x=e为函数g(x)的极大值点,且g(1)=0,g(e)=1e,当x→+∞时,g(x)→0.在同一平面直角坐标系中作出y=2a与函数y=g(x)的图象,如图D2-7-11所示,由图可知,当y=2a与函数y=g(x)的图象存在三个交点时,0<2a<1e,即实数a的取值范围为(0,12e).图D2-7-1111.B 记t=f(x)-1,则2f(t)-1=0的解为t1=e,t2=-1-62,t3=-1+22,t4=-1-22.t=f(x)-1的根等价于直线y=t+1与y=f(x)的图象的交点个数,画出f(x)的图象,如图D2-7-12,数形结合知有8个交点,即g(x)=2f(f(x)-1)-1有8个零点.图D2-7-1212.A 由题意知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,结合x≤1时f(x)的解析式作出函数f(x)的图象,如图D2-7-13所示,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)的折线,当m>0时,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)且“开口向上”的折线,只有当直线y=mx-2与y=lnx在(0,1]上的图象相切时,函数f(x)与g(x)=m|x|-2的图象恰有两个交点,此时设切点为(a,lna),根据y'x=a=(lnx)'x=a=1xx=a=1a,有lna+2a-0=1a⇒lna=-1⇒a=1e,所以m=e.当m<0时,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)“开口向下”的折线,则恒与函数f(x)的图象有两个交点.当m=0时,函数g(x)=m|x|-2=-2,则其图象恒与函数f(x)的图象有两个交点.综上,若函数g(x)与f(x)的图象恰有两个交点,则m≤0或m=e,故选A.第7页共7页\n13.A 因为函数y=f(x)-k存在两个零点,所以方程f(x)-k=0即方程f(x)=k存在两个不相等的实根,所以函数y=f(x)的图象与直线y=k存在两个交点.画出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图D2-7-14所示,由图易知1≤k<e.因为ex1=x2-1=k,所以x1=lnk,x2=k+1.令g(k)=(x2-x1)f(x1),则g(k)=(k+1-lnk)k=k2+k-klnk,所以g'(k)=2k+1-lnk-1=2k-lnk,当1≤k<e时,由函数y=2k与y=lnk的图象知2k>lnk,则g'(k)>0,所以函数g(k)在[1,e)上单调递增,所以当1≤k<e时,g(1)≤g(k)<g(e),即2≤g(k)<e2,所以(x2-x1)f(x1)的取值范围是[2,e2),故选A.图D2-7-1414.B 由题意知f'(x)=lnx-1ln2x(x>0且x≠1),令f'(x)=0,得x=e,所以当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以当x=e时,f(x)有极小值,且极小值为e,则函数f(x)的大致图象如图D2-7-15所示.由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则有-a<0,-a+3>e或-a=e,-a+3>e,解得0<a<3-e或a=-e.故选B.图D2-7-1515.2 解法一 由题意得,x-1<[x]≤x.令f(x)=0得,[x]=x2-1,所以x-1<x2-1≤x,解得1-52≤x<0或1<x≤1+52,从而[x]=-1或[x]=1.当[x]=-1时,x2=0,解得x=0,[x]=0,与[x]=-1矛盾,故舍去;当[x]=1时,x2=2,x=2,符合题意.故函数f(x)=x2-[x]-1的零点为2.解法二 函数f(x)=x2-[x]-1的零点,即函数y=x2-1,y=[x]的图象的交点的横坐标,在同一直角坐标系中作出函数y=x2-1,y=[x]的图象如图D2-7-16所示,由图象知,只有当[x]=1时,两图象有交点,此时x2=2,即x=2.故函数f(x)=x2-[x]-1的零点为2.第7页共7页\n图D2-7-1616.{1,9} 解法一 依题意得,关于x的方程|x2+3x|=a|x-1|有3个互不相等的实根,注意到x=1不是方程|x2+3x|=a|x-1|的根,于是有a=|x2+3x||x-1|=|x2+3xx-1|.令x-1=t(t≠0),则|x2+3xx-1|=|t+4t+5|.记g(t)=|t+4t+5|,则函数g(t)=|t+4t+5|的图象与直线y=a恰有三个不同的交点,作出函数g(t)=|t+4t+5|的图象,如图D2-7-17所示,结合图象可知,a=1或a=9.因此,实数a的取值集合是{1,9}.图D2-7-17解法二 依题意得,关于x的方程|x2+3x|=a|x-1|有3个互不相等的实根,因此a>0,所以|x2+3x|=|ax-a|有3个互不相等的实根,即方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax共有3个互不相等的实根,即方程x2+(3-a)x+a=0与x2+(3+a)x-a=0共有3个互不相等的实根.注意到当a>0时,方程x2+(3+a)x-a=0的判别式大于0,所以方程x2+(3+a)x-a=0必有2个不相等的实根.假设方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax有相同的根,可得相同的根为x=1,但当x=1时,x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax均不成立,所以方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax没有相同的根,所以方程x2+(3-a)x+a=0有2个相等的实根,故其判别式Δ=(3-a)2-4a=0(a>0),解得a=1或a=9.所以实数a的取值集合是{1,9}.第7页共7页
