第二章函数的概念与基本初等函数I第四讲指数与指数函数练好题·考点自测1.下列说法正确的个数为( )①nan=(na)n=a(n∈N*);②分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;③函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数;④若am<an(a>0,且a≠1),则m<n;⑤函数y=2-x在R上为减函数;⑥指数函数的图象恒过定点(0,1).A.2B.3C.4D.52.[2020天津,6,5分]设a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b3.[2020全国卷Ⅲ,4,5分][理]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)( )A.60B.63C.66D.694.[2020全国卷Ⅱ,11,5分][理]若2x-2y<3-x-3-y,则( )A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<05.[2019北京,13,5分][理]设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 . 6.[山东高考,5分][理]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 7.[福建高考,4分]若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 . 拓展变式1.(1)若将示例2(2)中“曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点”改为“曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点”,则b的取值范围为 . (2)若将示例2(2)改为:函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围是 . 第4页共4页\n(3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 . 2.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b3.若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则满足f(x-1)>1e2-e2的x的取值范围是( )A.(-2,+∞)B.(-1,+∞)C.(2,+∞)D.(3,+∞)4.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数).若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 . 答案第四讲 指数与指数函数1.B 根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知①②④错误,③⑤⑥正确,故选B.2.D 由题知c=log0.70.8<1,b=(13)-0.8=30.8,易知函数y=3x在R上单调递增,所以b=30.8>30.7=a>1,所以c<a<b,故选D.3.C 由题意可知,当I(t*)=0.95K时,K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,即10.95=1+e-0.23(t*-53),e-0.23(t*-53)=119,e0.23(t*-53)=19,∴0.23(t*-53)=ln19≈3,∴t*≈66.故选C.4.A 由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,即2x-(13)x<2y-(13)y.设f(t)=2t-(13)t,则f(x)<f(y).因为函数z1=2t在R上为增函数,z2=-(13)t在R上为增函数,所以f(t)=2t-(13)t在R上为增函数,则由f(x)<f(y),得x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A.第4页共4页\n5.-1 (-∞,0] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即e-x+aex=-ex-ae-x,∴(1+a)e-x+(1+a)ex=0,∴a=-1.∵f(x)单调递增,∴f'(x)=ex-ae-x=e2x-aex≥0,∴e2x-a≥0,∴a≤0,故a的取值范围是(-∞,0].6.-32 ①当0<a<1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意可得f(-1)=0,f(0)=-1,即a-1+b=0,a0+b=-1,解得a=12,b=-2,此时a+b=-32.②当a>1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,由题意可得f(-1)=-1,f(0)=0,即a-1+b=-1,a0+b=0,显然无解.所以a+b=-32.7.1 因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x-1|的图象如图D2-4-1所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.图D2-4-11.(1)(0,1) 曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图D2-4-2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).图D2-4-2(2)(-∞,0] 因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].(3)(0,12) y=|ax-1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D2-4-3(1);当0<a<1时,要使两个图象有两个公共点,则0<2a<1,得到0<a<12,如图D2-4-3(2).(1) (2)图D2-4-3第4页共4页\n综上可知,a的取值范围是(0,12).2.C 因为当x>0时,1<bx,所以b>1.因为当x>0时,bx<ax,所以(ab)x>1,可得ab>1,所以a>b.所以1<b<a.故选C.3.B 由f(x)=ex-ae-x为奇函数,得f(-x)=-f(x),即e-x-aex=ae-x-ex,解得a=1,所以f(x)=ex-e-x,则f(x)在R上单调递增.又f(x-1)>1e2-e2=f(-2),所以x-1>-2,解得x>-1,故选B.4.(-∞,4] 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在[m2,+∞)上单调递增,在(-∞,m2]上单调递减.因为f(x)=2t在R上为增函数,所以若函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].第4页共4页
