第二章函数的概念与基本初等函数I第四讲 指数与指数函数1.[2021山东省烟台市期中]若a=(13)0.6,b=3-0.8,c=ln3,则a,b,c的大小关系为( )A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b2.[原创题]已知函数f(x)=2x+x-5,则不等式-2≤f(4x-1)≤6的解集为( )A.[-1,-12]B.[-12,12]C.[12,1]D.[1,32]3.[2021湖南六校联考]若函数f(x)=(12)x-a的图象经过第一、二、四象限,则f(a)的取值范围为( )A.(0,1)B.(-12,1)C.(-1,1)D.(-12,+∞)4.设b∈R,若函数f(x)=4x-2x+1+b在[-1,1]上的最大值是3,则其在[-1,1]上的最小值是( )A.2B.1C.0D.-15.[2020合肥市三检]已知函数f(x)=1ax-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)>0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(12,+∞)B.(-∞,-12)∪(1,+∞)C.(-12,1)D.(-1,12)6.[2021嘉兴市高三测试]函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-4,则f(-1)= ;不等式f(x)<0的解集为 . 7.[答案不唯一]能说明“已知f(x)=2|x-1|,若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,则在[0,2]上,f(x)mIn≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)= .(填出一个函数即可) 8.[2021黑龙江省六校阶段联考]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0℃,经过一段时间tmIn后的温度是T℃,则T-Ta=(T0-Ta)·(12)th,其中Ta(单位:℃)表示环境温度,h(单位:mIn)称为半衰期.现有一份88℃的热饮,放在24℃的房间中,如果热饮降温到40℃需要20mIn,那么降温到32℃时,需要的时间为( )A.24mInB.25mInC.30mInD.40mIn第5页共5页\n9.[2021河北石家庄二中模拟]已知0<θ<π4,则( )A.(cosθ)sInθ>(cosθ)cosθ>(sInθ)cosθB.(sInθ)cosθ>(cosθ)sInθ>(cosθ)cosθC.(cosθ)cosθ>(sInθ)cosθ>(cosθ)sInθD.(cosθ)cosθ>(cosθ)sInθ>(sInθ)cosθ10.[2021惠州市一调]对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.[1-3,1+3]B.[1-3,22]C.[-22,22]D.[-22,1-3]11.[2020广东七校第二次联考]已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为( )12.设函数f(x)=2-x,x≤1,x2,x>1,则y=2f(f(x))-f(x)的取值范围为( )A.(-∞,0]B.[0,22-12]C.[22-12,+∞)D.(-∞,0]∪[22-12,+∞)13.已知点P(a,b)在函数y=e2x的图象上,且a>1,b>1,则alnb的最大值为 . 14.已知函数f(x)=ex,若关于x的不等式[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,则实数a的取值范围为 . 第5页共5页\n答案第四讲 指数与指数函数1.B 因为a=(13)0.6=3-0.6,由指数函数y=3x在R上单调递增,且-0.6>-0.8可得a=3-0.6>3-0.8=b,且b<a<1,又c=ln3>lne=1,所以c>a>b.故选B.2.C 因为函数y=2x与y=x-5在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x-5在R上为增函数.易知f(1)=-2,f(3)=6,所以不等式-2≤f(4x-1)≤6等价于f(1)≤f(4x-1)≤f(3),等价于1≤4x-1≤3,解得12≤x≤1,故选C.3.B 依题意可得f(0)=1-a,则0<1-a<1,-a<0,解得0<a<1,f(a)=(12)a-a.设函数g(x)=(12)x-x,则g(x)在(0,1)上为减函数,故f(a)∈(-12,1).故选B.4.A f(x)=4x-2x+1+b=(2x)2-2·2x+b.设2x=t,则g(t)=t2-2t+b=(t-1)2+b-1.因为x∈[-1,1],所以t∈[12,2].当t=1时,g(t)取最小值,为b-1;当t=2时,g(t)取最大值,为3,即1+b-1=3,解得b=3.于是f(x)min=2.故选A.5.D 因为当a>1时,y=1ax和y=-ax均为减函数,所以函数f(x)=1ax-ax(a>1)在R上为减函数.又f(-x)=1a-x-a-x=ax-a-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.不等式f(2x2)+f(x-1)>0可化为f(2x2)>f(1-x),所以2x2<1-x,即2x2+x-1<0,解得-1<x<12,故选D.6.2 (-∞,-2)∪(0,2) 由题意得f(-1)=-f(1)=-(21-4)=2.当x>0时,令f(x)=2x-4<0,得0<x<2,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,令f(x)<0,得x<-2,当x=0时,f(0)=0,此时不满足f(x)<0.所以f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).7.x-12(答案不唯一) 易知函数f(x)=2|x-1|在x∈[0,2]上的最小值是1,取g(x)=x-12,作出f(x),g(x)在[0,2]上的图象如图D2-4-4,满足f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,但g(x)=x-12在[0,2]上的最大值是32,不满足f(x)min≥g(x)max,所以g(x)=x-12能说明题中命题是假命题.第5页共5页\n8.C 由题意,得40-24=(88-24)·(12)20h,即14=(12)20h,解得h=10,所以T-24=(88-24)·(12)t10,即T-24=64·(12)t10,将T=32代入上式,得32-24=64·(12)t10,即18=(12)t10,解得t=30,所以需要30min,可降温到32℃,故选C.9.A 设a=cosθ,b=sinθ,因为0<θ<π4,所以1>a>b>0,则函数f(x)=ax为减函数,所以ab>aa,根据幂函数的性质可得aa>ba,故有ab>aa>ba,即(cosθ)sinθ>(cosθ)cosθ>(sinθ)cosθ,故选A.10.B 因为函数f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,所以方程f(x)=-f(-x)有解,即方程4x-m·2x+1+m2-3=-(4-x-m·2-x+1+m2-3)有解,整理得(4x+14x)-2m(2x+12x)+2(m2-3)=0,即方程(2x+12x)2-2m(2x+12x)+2m2-8=0有解,令t=2x+12x,则t≥2,即方程t2-2mt+2m2-8=0(*)在t∈[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-2mt+2m2-8.(1)当方程(*)有两个相等的解时,由Δ=0,m≥2,解得m=22.(2)当方程(*)有两个不相等的解,其中一个解小于2,另一个解大于等于2时,则g(2)<0或g(2)=0,m<2,解得1-3≤m<1+3.(3)当方程(*)有两个不相等的解,且两个解都大于等于2时,由Δ>0,g(2)≥0,m>2,解得1+3≤m<22.综上所述,1-3≤m≤22,故选B.11.A 因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥29x+1·(x+1)-5=1,当且仅当x=2时取等号,此时函数f(x)取得最小值1,所以a=2,b=1,所以g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥-1,(12)x+1,x<-1,函数g(x)的图象可以看作由函数y=2x,x≥0,(12)x,x<0的图象向左平移1个单位长度得到.结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.12.B 作出f(x)=2-x,x≤1,x2,x>1的图象如图D2-4-5中实线所示,由图可知f(x)∈[12,+∞),设f(x)=t,则t∈[12,+∞),因为y=2f(f(x))-f(x),所以y=2f(t)-t,t∈[12,+∞),所以12≤t≤1,y=21-t-t或t>1,y=0.因为y=21-t-t在[12,1]上单调递减,所以0≤y≤22-12,所以y=2f(f(x))-f(x)的取值范围为[0,22-12],故选B.图D2-4-513.e 由题意知b=e2a,则alnb=alne2a=a2-lna,令t=a2-lna(t>0),则lnt=lna2-lna=-(lna)2+2lna=-(lna-1)2+1≤1,所以lna=1时,t取得最大值e,即alnb的最大值为e.第5页共5页\n14.(-∞,e2-2e] 由[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,可得存在x∈[0,1],a≤[f(x)]2-2f(x),即a≤e2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0≤x≤1),则a≤g(x)max.因为0≤x≤1,所以1≤ex≤e,则当ex=e,即x=1时,g(x)max=e2-2e,即a≤e2-2e,故实数a的取值范围为(-∞,e2-2e].第5页共5页
