第14讲定积分与微积分基本定理1．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy解析：选B.两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在[0，1]上，x≥x2，故曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.2．(2022·开封诊断考试)若(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为( )A．－B．－C．－1D．－2解析：选B.由题意知，(x2＋mx)dx＝＝＋＝0，得m＝－.3．(2022·太原八校联考)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝( )A．1B．eC．e－1D．e＋1解析：选A.由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是lnxdx＝(xlnx－x)＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )A.gB．gC.gD．2g解析：选C.由题意知电视塔高为gtdt＝gt2|＝2g－g＝g.5．(2022·金华十校联考)设f(x)＝则f(x)dx等于( )A.B.C.D．不存在解析：选C.4\n如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.6．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0<t<1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.B.C．1D．2解析：选A.设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝t3－t2＋，由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝0(舍去)或t＝为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min＝S＝.7．(2022·江西省八校联考)计算(x3cosx)dx＝________． 解析：令f(x)＝x3cosx，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知(x3cosx)dx＝0.答案：08．若m>1，则f(m)＝dx的最小值为________． 解析：f(m)＝dx＝＝m＋－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．答案：－19．(2022·南昌调研测试卷)直线y＝x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于________．4\n解析：由解得x＝0或，所以所求面积为∫0dx＝∫0dx＝＝×－×－0＝.答案：10.(＋x)dx＝________．解析：(＋x)dx＝dx＋xdx，根据定积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积，即dx＝，xdx＝x2＝0，所以(＋x)dx＝.答案：11．求下列定积分：(1)dx；(2)(cosx＋ex)dx.解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx＝|－|＋lnx|＝－＋ln2＝ln2－.(2)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx＝sinx|＋ex|＝1－.12．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解：作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．4\n解方程组得交点(1，1)，(0，0)，解方程组得交点(3，9)，(0，0)，因此，所求图形的面积为S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2＋＝1＋－＝.4
