第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题六 函数与导数第二讲 基本初等函数、函数与方程\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，要引起重视．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷4对数与指数的互化5全国卷乙卷12利用对数性质比较大小52020Ⅰ卷12函数与方程的综合应用5Ⅱ卷11对数式的大小的判断问题5Ⅲ卷4指数与对数互化52019Ⅰ卷3比较指数幂与对数值的大小5Ⅱ卷6，14指数函数、对数函数、幂函数的性质；指数、对数的运算10Ⅲ卷11指数值与对数值的大小比较与函数性质的综合应用5\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷6对数与指数的互化5全国卷乙卷8二次函数最值、指数函数和对数函数的性质52020Ⅰ卷8指对式的运算的问题5Ⅱ卷4，12函数模型及其应用，对数式的大小的判断问题10Ⅲ卷4对数的运算，指数与对数的互化52019Ⅰ卷3指数式与对数式的大小比较5Ⅱ卷/Ⅲ卷5函数的零点与三角恒等变换5\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身C\nD\nC\n4．(2020·全国卷Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2B\nf(a)-f(b2)＝2a＋log2a-(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b-(2b2＋log2b2)＝22b-2b2-log2b，当b＝1时，f(a)-f(b2)＝2>0，此时f(a)>f(b2)，有a>b2，当b＝2时，f(a)-f(b2)＝-1<0，此时f(a)<f(b2)，有a<b2，所以C、D错误．故选B.\n5．(2020·全国卷Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，则()A．ln(y-x＋1)>0B．ln(y-x＋1)<0C．ln|x-y|>0D．ln|x-y|<0A\nC\n\nC\n\nC\nD\nC\nB\n5．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a【解析】因为a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，0＜c＝0.20.3＜1，所以b＞c＞a.故选B.B\nC\n\nC\n\n1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n指数函数与对数函数的图象与性质考点一 基本初等函数的图象与性质\n单调性0＜a＜1时，在R上单调递减；a＞1时，在R上单调递增0＜a＜1时，在(0，＋∞)上单调递减；a＞1时，在(0，＋∞)上单调递增函数值0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞10＜a＜1，当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1a＞1，当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0\n典例1A\n【解析】(1)若f(x)在R上为增函数，则a-1>1，即a>2，因为a>3是a>2的充分不必要条件，所以“a>3”是“函数f(x)＝(a-1)x在R上为增函数”的充分不必要条件．故选A．\nB\n\nB\nB\n\n(5)函数f(x)＝2|x|-x2的图象大致是()D\n【解析】(5)由f(x)＝2|x|-x2为偶函数可排除A，C；当0<x<1时，y＝2x图象高于y＝x2图象，即2-x2＞0，排除B；故选D.\n基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质，首先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．\nD\n\n\nC\n函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．考点二 函数的零点\nB典例2\n\nC\n\n判断函数零点个数的方法\nC典例3\n\n利用函数零点的情况求参数值(或范围)的三种方法\n3．(2021·重庆高三三模)已知函数f(x)＝2x＋x-1，g(x)＝log2x＋x-1，h(x)＝x3＋x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为()A．c>b>aB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>bB\n【解析】令f(x)＝0，则2x＋x-1＝0，得x＝0，即a＝0，令g(x)＝0，则log2x＋x-1＝0，得x＝1，即b＝1，因为函数h(x)＝x3＋x-1在R上为增函数，且h(0)＝-1<0，h(1)＝1>0，所以h(x)在区间(0，1)存在唯一零点c，且c∈(0，1)，综上，b>c>a，故选B.\nD\n【解析】作出函数y＝2x-4与y＝(x-1)(x-3)的图象，当a<1时，只有B一个零点；当1≤a<2时，有A，B两个零点；当2≤a<3时，有A一个零点；当a≥3时，有A，C两个零点；综上，实数a的取值范围是：1≤a<2或a≥3，故选D.\n考点三 函数模型的实际应用\n(1)(2021·沙坪坝区校级模拟)某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入．已知市政府1980年全年投入研发资金100万元，2020年全年投入研发资金500万元，若每年投入的研发资金的增长率相同．则该市政府2021年全年投入的研发资金约为(本题可用自然对数的近似公式：x＜0.1时，ln(1＋x)≈x，参考数据：ln5≈1.61)()A．515B．520C．525D．530B典例4\n\n(2)(2019·潍坊模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00C\n\n\n解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解函数模型使实际问题获解．\n5．(2020·怀柔区一模)某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为___________元．1120\n\n明晰易错点•高考零失误\n已知函数f(x)＝ax2-3x＋3，当x∈[1，3]时，有最小值8，求a的值．典例1易错点一：忽视对指数函数、对数函数的底数中的参数的讨论\n【易错释疑】错解答案是“歪打正着”，实际上错解忽视了对a的讨论，f(x)的单调性要按a>1或0<a<1，两种情况去讨论．\n\n典例2\n【易错释疑】第(1)问的解答是正确的，第(2)问将对数不等式化成分式不等式时，没有按照0<a<1与a>1分类讨论函数的单调性．\n\n\n典例3易错点二：判断函数的零点的个数时忽略函数图象的不连续而致误A\n\n典例4易错点三：在解决实际应用题时计量单位缺乏量纲意识\n\n\n\n\n\n\n\n
