2013年高考模拟试卷理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共60分，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合，,则()k=0,S=1开始结束k<3？S=S·2kk=k+1输出S是否A.B.C.D.（2）在复平面内,点(2,1)对应的复数为Z,则Z的共轭复数是（）ABCD（3）执行右图所示的程序框图，输出的S值为（）A.64B.16C.8D.2（4)函数的零点个数为（）A0B1C2D3（5）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A．210B．420C.630D．840（6）已知函数,数列的前n项和为,的图象经过点(n,Sn),则{an}的通项公式为（）Aan=-2nBan=2nCan=-2n-1Dan=2n-115\n（7）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为(（8）函数f(x)=cosx-sinx,把y=f(x)的图象上所有的点向右平移个单位后，恰好得到函数y=f’(x)的图象，则的值可以为（）A． B． C．π D．（9）已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)(10)已知F1、F2分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．5（11）已知偶函数f(x)对任意的x∈R满足f(2+x)=f(2–x)，且当-2≤x≤0时，f(x)=log2(1–x)，则f(2013)的值是( )．A．2013B．2C．1D．0（12）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()ABCD 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13)已知在等差数列{an}中，a2+a5=6,a3=2,则S4=_______(14)已知，且，，则向量夹角为_________.(15)．若满足约束条件：；则的最小值为15\n(16).假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号:________________（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积。18.（本小题满分12分）（某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用η表示经销一辆汽车的利润。付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b（Ⅰ）求上表中的a,b值；（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的频率P（A）；（Ⅲ）求η的分布列及数学期望Eη。（19）（本小题满分12分）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=900，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．20.（本小题满分12分）已知抛物线L：x2=2py和点M（2，2），若抛物线L上存在不同两点A、B满足（Ⅰ）求实数p的取值范围;（Ⅱ）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R).（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）试说明是否存在实数a(a≥1)，使y=f(x)的图象与直线y=1+ln无公共点。请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。15\n22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弦，∠BAC的平分线交⊙于，交延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是⊙的切线；（Ⅱ）若，求的值.23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知直线（为参数），.（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；（Ⅱ）以坐标原点为圆心的圆与的相切，切点为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）若时,解不等式；（Ⅱ）如果,求的取值范围。2013年高考模拟试卷理科答案数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。15\n3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共60分，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=（）A（-，-1）B（-1，-）C（-,3）D(3,+)【答案】D.（2）在复平面内，点（2,1）对应的复数为Z,则Z的共轭复数为（）ABCD【答案】C.【解析】因为.2+i的共轭复数是2-i.故选C.（3）．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为（）A.64B.16C.8D.2【答案】C.【解析】，，，，，选C.（4)函数的零点个数为（）A．0B.1C.2D.3【答案】B.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),画出函数f1(x)=lnx,和f2(x)=-()x的图像可知它们在(0,+∞)上只有一个交点，故选B.（5）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）15\nA．210B．420C.630D．840【答案】B.【解析】=420，故选B．（6）已知函数,数列的前n项和为,的图象经过点(n,Sn),则{an}的通项公式为（）A.an=-2nB.an=2nC.an=-2n-1D.an=2n-1【答案】C.【解析】∵函数f(x)=1-2x经过点(n,Sn),∴Sn=1-2n,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列，∴{an}的通项公式为an=-2n-1故选C.（7）如右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )A. B.C.D.【答案】D.【解析】由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S＝3×()2＋2××()2×sin60°＝6＋.故选D.（8）函数,把的图象上所有的点向右平移个单位后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（）A． B． C．π D．【答案】B.（9）已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)【答案】C.(10)已知F1、F2分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n，不妨设P15\n在第一象限，则由已知得5a2-6ac+c2=0e2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），选D．（11）已知偶函数对任意的满足，，且当时，，则的值是( )．A．2013B．2C．1D．0【答案】C.【解析】选C（12）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()（A）（B）（C）（D）【答案】A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13).已知在等差数列{an}中，a2+a5=6,a3=2,则S4=_______.【答案】4.【解析】由题意得，∴a1=-2,d=2.∴S4=4.(14).已知，且，，则向量夹角为_________.【答案】.【解析】：∵，∴4a2+4a·b+b2=10,又，=3。则向量夹角为(15)．若满足约束条件：；则的最小值为.【答案】-3.【解析】约束条件对应边际及内的区域：则,则最小值为-3.(16).假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号：_____________________15\n（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】：785，667，199，507，175．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】解：（Ⅰ）由bsinA=acosB及正弦定理得sinBsinA=sinAcosB，∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴sinB=cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，∴B=；（Ⅱ）由sinC=2sinA及正弦定理得：c=2a①，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：9=a2+c2-ac②，联立①②解得：a=，c=2．即得面积为.18.（本小题满分12分）（某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用表示经销一辆汽车的利润。付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10（Ⅰ）求上表中的a,b值；（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的频率P（A）；（Ⅲ）求的分布列及数学期望E。【答案】解：（Ⅰ）由,,…2分（Ⅱ）记分期付款的期数为，依题意得15\n…………5分则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率；…………7分（Ⅲ）的可能取值为1，1.5，2（单位：万元）…………8分…………10分11.52P0.40.40.2的数学期望（万元）（万元）……12分19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】解:（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．…………………6分（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，15\n得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为………………12分解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．……10分，所以二面角的余弦值为．………12分20（本小题满分12分）已知抛物线L：x2=2py和点M（2，2），若抛物线L上存在不同两点A、B满足（Ⅰ）求实数p的取值范围;（Ⅱ）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由。【答案】解:（Ⅰ）15\n（Ⅱ）当p=2时,由（Ⅰ）求得A,B的坐标为(0,0)\(4,4).假设抛物线L上存在点C,使得经过A,B,C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线.设经过A,B,C三点的圆的方程为21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）试说明是否存在实数，使的图象与直线无公共点。【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域是.15\n①若则在上恒成立，时，的增区间为。②若则.故当时，当时，时，的减区间为的增区间为（Ⅱ）时，由（Ⅰ）可知，在上的最小值为依题意，研究是否存在实数，使记又只需研究是否在上单调递减，存在实数使的最小值大于，故存在使的图象与直线无交点。15\n请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弦，∠BAC的平分线交⊙于，交延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是⊙的切线；（Ⅱ）若，求的值.【答案】证明：（Ⅰ）连接OD，可得 OD∥AE--------------3分又DE是⊙的切线.---------5分（Ⅱ）过D作于H，则有.------------------6分设，则--------------------------8分由∽可得又∽，--------------10分.23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知直线（为参数），.（I）当时，求与的交点坐标；(II）以坐标原点为圆心的圆与的相切，切点为，为的中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.15\n【答案】解：（I）当时，的普通方程为，的普通方程为联立方程组解得与的交点为，…………………………………………5分（II）的普通方程为A点坐标为.∴当变化时，点轨迹的参数方程为（为参数）点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为，半径为的圆.………………………………10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.(I).若时,解不等式；（II）如果,求的取值范围。【答案】.解：（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x－1︳+︱x+1|≥3由绝对值的几何意义知不等式的解集为……5分（Ⅱ）若，不满足题设条件若，的最小值为若，的最小值为15\n所以的充要条件是，从而的取值范围为.解析二:(Ⅰ)同上(Ⅱ)利用不等式的几何性质,所以的充要条件是，从而的取值范围为.15
