海南省海口市2022年高考模拟试题(二)数学（理科）注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1．设全集合，集合，则集合A．B．C．D．2．已知命题：△中，，命题：△是钝角三角形，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．复数的共轭复数在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若，，，则下列不等式：①；②；③；④恒成立的是A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④5．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A．B.C．D．6．设，则A．B．C．D．7．过双曲线的左焦点作垂直于双曲线渐近线的直线，以右焦点为圆心，为半径的圆和直线相切，则双曲线的离心率为11\nA．B．C．D．（第8题图）8．设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，，则的值为A．B．C．D．9．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（第9题图）（第10题图）A．B．C．D．10．海口市某次考试有10000名考生，现从中随机抽取100名考生的成绩，，，…，作为样本，执行如上图所示的程序框图，输入，，，…，，输出的结果，．若总体服从正态分布，试估计该次考试中10000名考生的成绩不小于5分的人数为A．人B．人C．人D．人（参考数据：若，则；；）11．已知球的半径，线段上一点满足，过且与成角的平面截球的表面得到圆，三棱锥的底面内接于圆，顶点在球的表面上，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．12．已知函数在处的切线斜率为，则的图象和直线与轴所围成的图形的面积是A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置）13．的常数项等于_________。11\n14．已知区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为.15．在△中，角，，所对的边分别是，，，若,且,则____________16．已知抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则抛物线的方程为____________三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）求数列的前项和。18．（本小题满分12分）2022年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》依据AQI指数高低将空气污染级别分为：优，指数为0—50；良，指数为51—100；轻微污染，指数为101—150；轻度污染，指数为151—200；中度污染，指数为201—250；中度重污染，指数为251—300；重度污染，指数大于300．下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数与当天的空气水平可见度（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，表1：AQI指数与当天的空气水平可见度（千米）情况AQI指数空气可见度（千米）表2：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计11\nAQI指数频数361263（Ⅰ）设变量，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅱ）小王在记录表2数据的观测点附近开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量影响很大。假设每天空气质量的情况不受前一天影响。经小王统计：AQI指数不高于时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在至时，饭馆平均每天净利润约元，AQI指数大于时，饭馆每天要净亏损200元．（ⅰ）将频率看作概率，求小王在连续三天里饭馆净利润约1200元的概率；（ⅱ）计算该饭馆一月份每天收入的数学期望.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，//，，，，平面平面，（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值（第19题图）20．（本小题满分12分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆：的长轴长是4，椭圆：短轴长是1，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆，的方程；（Ⅱ）过的直线交椭圆于点，，求△面积的最大值.11\n（第20题图）21．（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）证明：时，函数在上单调递增；（Ⅱ）证明：恒成立．四．选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲切线与圆切于点，圆内有一点满足，的平分线交圆于，，延长交圆于，延长交圆于，连接．（Ⅰ）证明：//；（Ⅱ）求证：．（第22题图）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于，两点，点的直角坐标为，若，求直线的普通方程．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三个不同的解，求的取值范围．11\n2022年海口市高考模拟测试数学试题（理科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DACBADBDACBA三、解答题：13．14．15．16．三、解答题17．解：（Ⅰ）；3分（Ⅱ）因为，所以有成立两式相减得：，所以，即所以数列是以5为首项，公比为2的等比数列。7分（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，即，则设数列的前项和为，则两式相减得:所以所以数列的前项和，整理得：。12分18．解：（Ⅰ）由，则，，，，，，∴，∴关于的线性回归方程是8分（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于的频率为0.1，AQI指数在至11\n的频率为0.2，AQI指数大于的频率为0.7，设“饭馆某天收入约700元”为事件，“饭馆某天收入约400元”为事件，“饭馆某天亏损约200元”为事件，若将频率看作概率，则，，.则“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率：8分（ⅱ）由（ⅰ），设饭馆每天的收入为，则的分布列为10分则的数学期望为.12分19．法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴2分∵平面平面，平面平面∴平面∴，4分∵∴平面.5分∴平面平面.6分（Ⅱ）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由△△，知，∵∴，∵∴，9分作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.10分∵△△，∴，而∴∴，11\n∴，即二面角的平面角的余弦值为.12分法二：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面又∵，故可如图建立空间直角坐标系2分由已知，，，（）∴，，∴，，∴，，∴平面.4分∴平面平面6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则10分∴，11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为.12分20．（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，椭圆的.由已知，，.∵椭圆与椭圆的离心率相等，即∴，即∴，3分即，∴4分11\n∴椭圆的方程是，椭圆的方程是6分（Ⅱ）显然直线的斜率不为，故可设直线的方程为：。联立：，得，即7分∴，8分△的高即为点到直线的距离.9分∴△的面积∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△的面积的最大值为.12分21．（Ⅰ）证明：，则，，1分∵，，∴.∴在单调递增3分∴，即，5分从而在上单调递增；.6分（Ⅱ）证明：要证，只需证，即，证明如下：设，则，8分已知当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴在上的最小值为，即，10分11\n又由（Ⅰ），当且时，，∴，即不等式恒成立.12分四．选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22．（Ⅰ）证明：∵切圆于，∴，又∵，∴，∴△△，∴，又∵，∴∴//5分（Ⅱ）证明：连接，，由，及，知△△，同理有△△，∴，∴，∴10分23.（Ⅰ）由，得，∵，∴曲线的直角坐标方程是，即4分（Ⅱ）设，由已知，注意到是直线参数方程恒过的定点，∴①联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程得：，整理得：，6分∴，，与①联立得：，∴直线的参数方程为，（为参数）或，（为参数）.8分消去参数得的普通方程为或10分24.（Ⅰ）时，，∴当时，不合题意；当时，，解得；11\n当时，符合题意.3分综上，的解集为5分（Ⅱ）设，的图象和的图象如右图：7分易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而.10分11
