高考数学 易错点点睛与高考突破 专题10 空间直线与平面

2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题10空间直线与平面1.空间直线与平面的位置关系2.空间角3.空间距离4.简单几何体5.利用三垂线定理作二面角的平面角6.求点到面的距离7.折叠问题在选择题中,常以其中的某个知识点作为一个选项，填空题则常常是多项选填题。在解答题中，常常是第一问证平行或垂直，主要还是考查对判定定理及性质定理的应用，重在添加辅助线。预计这部分内容仍然是2013年考试试题的重点，尤其以证明直线与平面平行或垂直作为解答题的第一问题型居多。难点1利用三垂线定理作二面角的平面角1.如图10-30，ABCD中，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点，（1）求证：直线AR∥平面PMC；（2）求证：直线MN⊥直线AB；（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角（锐角）为θ，能束确定θ使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线，若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由。34\n难点2求点到面的距离1．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3。（i）求二面角P—EC—A的大小；（ii）求点F到平面PCE的距离。34\n2．如图10-33，在棱长为a的正方体，ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD相交于H。（1）求二面角B1—EF—B的大小；（2）试在棱BB1上找一点M，使D1M⊥平面B1EF，并证明你的结论；（3）求D1到平面B1EF的距离。到面B1EF的距离为a。34\n难点3折叠问题1．如图10-35，△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，已知沿△BCD三边把△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去，恰好使A1、A2、A3重合于A。arctan34\n2．如图10-37，已知ABCD中，AD=BC，AD∥BC，且AB=3，AD=2，BD=，沿BD将其折成一个二面角A—BD—C，使得AB⊥CD。【易错点点睛】易错点1空间直线与平面的位置关系1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：BP⊥平面EFD；（3）求二面角C—PD—D的大小.【错误解答】第（2）问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF在平面34\n2．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)34\n3．如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。【错误解答】（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，34\n【特别提醒】解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a∥α则过a作一平面β，使βα=b，再证a∥b；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。【变式训练】1如图10-5所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是____________ .(写出所有符合要求的图形序号)答案：①③解析：①中平面MNP//平面AB，∴AB//平面MNP；②中取下底面中心O，MP的中点C，连接NO，NC，则由已知AB//NO，AB■NC．∴AB■面MNP；③34\n中AB//MP,∴AB//平面MNP；④中AB■面MNP．∴填①③．2如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点。（3）设AB=a，求三棱锥A-A1EC的体积。答案：VA1-A1EC=VE-AA1C=·EF··AA1·AC3已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上一点，且PF=PB，如图（1）求证：GF⊥平面PBC；答案：连接BG并延长交AP于M，由C为APAB的重心，则34\n易错点2空间角1．如图10-8，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N—CM—B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离。34\n2．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。（1）求二面角C—DE—C1的正切值（2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。34\n（2）设EC1与FD1所成的角为β，则cosβ=3．如图10-11，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。【错误解答】第（2）问：由（1）知PC⊥MF，∴AF为AC在面EAM内的射影，∴∠CAF为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC，解得sin∠CAF=.∴AC与平面EAM所成的角的正弦值为。【易错点点睛】直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内34\n∴sinα=。【特别提醒】空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（1）找出或作出要求的角；（2）证明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。【变式训练】134\n如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，现沿AC折成二面角D—AC—B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线。（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；2如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DD1上的点，且AE⊥A1B，AF⊥A1D。（1）求证：A1C⊥平面AEF34\n∴直线AM与平面AEF的所成的角为arcsin3已知四棱锥P—ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点。MQ⊥PD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为如图所示。∴PC=可得PA=2.（3）求二面角P—MN—Q的余弦值。34\n答案：由（1）知，MN⊥PM，MN⊥QM.∴∠PMQ是二面角P—MN—Q的平面角.由（2）知△PMQ为等腰直角三形.且AM=DM=1.∴二面角P—MN—Q的余弦值为易错点3空间距离1．在空间中，与一个△ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）A．一条直线B．两条直线C．三条直线D．四条直线【错误解答】设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到△ABC三边所在2．如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O点在平面D1AP上的射影为H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平面ABD1的距离。34\n34\n3．如图10-17，在三棱锥V—ABC中，底面△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4，VA=，VB与底面ABC成45°角。34\n【特别提醒】空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有：（1）直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是，其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。【变式训练】如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都为a，P为A1B上的点。（1）试确定的值，使得PC⊥AB；答案：过P作PM⊥AB于M，连结CM，∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴PM⊥平面ABC，∴PC在下底面上的射影为CM，∵PC⊥AB，∴CM⊥AB，又△ABC为等边三角形，∴M为AB中点，即P为A1B的中点，34\n（2）若，求二面角P—AC—B的大小；BH=3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面，A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1⊥A1C。如图所示。34\n易错点4简单几何体1．如图10-22，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N。34\n求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长；（2）PC与NC的长；（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。2．如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E为DC中点，点F在DD1上，且DF=。34\n（1）求异面直线BD与A1D1的距离；（2）EF与BC1是否垂直？请说明理由；（3）求二面角E—FB—D的正切值。同正解一；由已知可得∠ADB=90°，DD1⊥平面ABCD，∴以、、34\n分别为x,轴y轴,z轴的正方向，建立空间坐标系，F（0，0，）、E（）、A（1，0，0）、D1（0，0，2），∴==（-1，0，2）又BC1∥AD1，∴EF⊥AD1。【特别提醒】棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年判断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算，这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。【变式训练】1如图，正四面体ABCD的棱长为1，P、Q分别为AB、CD上两点，且AP=CQ=λ，求出正四面体侧面上从P到Q的最小距离。34\n（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为1，A1C=，AB1=5，求三棱锥A1—ACD的体积。34\n【2013高考突破】1.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【答案】Ｄ【解析】容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然，但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条34\n5.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是6.对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（）34\n（A）（B）（C）（D）答案：B解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。∵两条不相交的空间直线和，∴存在平面，使得。7如图，在正四棱锥S—ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC。（1）证明SB⊥AC；（2）指出动点P的轨迹，并证明你的结论；8、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长为a，侧棱长为，D是A1C1的中点。34\n（1）求证：BC1∥平面B1DA；答案：如图，连结A1B交AB1于E，则E为A1B的中点，又D为A1C1的中点，∴DE∥BC1又DE面AB1D，∴BC1∥平面AB1D.（2）求证：平面AB1D⊥平面A1ACC1；9菱形ABCD的边AB=5，对角线BD=6，沿BD折叠得四面体ABCD，已知该四面体积不小于8，求二面角A—BC—C的取值范围。34\n10已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°E、F分别是AC、AD上的动点，且（0<λ<1），如图。（1）求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD。11如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a34\n,BB=3a,DoA1C1的中点。（1）求BE与A1C所成的角；答案：如图，取A1B的中点M，连结MB，E为B1C的中点，∴EM∥A1C，EM=A1C∴∠MEB（或补角）为直线BE与A1C所成的角.（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，请说明理由。12、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上一动点，M、N分别为△ABD、△A1B1R的重心。34\n∴D为CC1的中点，∴C1D=2VD-A1B1C1=VC1-A1B1D=·2··2·2=·h·×(2)2,∴h=.（3）若点C在平面ABD上的射影恰好为M，试判断点C1在平面A1B1D上的射影是否为N？并说明理由。13如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，B1B=BC=CA=4，D1是A1B1中点E是BC1的中点，BD1交AB1于点F34\n（3）求点C到平面BEF的距离。答案：(解法一)∵E为B1C的中点，∴C到平面BEF的距离等于B1到平面BEF的距离，∵ABC-A1B1C1为直棱柱，A1C1=B1C1，D1为中点，∴C1D1⊥A1B1，∴C1D1平面A1B1BA，14.在四面体ABCD中，CB=CD，，34\n∵BD面BCD，∴面面34