2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题14极限【难点突破】难点1数学归纳法在数列中的应用1．已知数列{an}满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*),(1)求{bn}的通项公式；（2）求（）的值。29\n2．设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)|≤证明：对所有正整数k有|f(2k)-f(2i)|≤29\n2．设xn=,求数列{xn}的极限。【解析】由于的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。【答案】因为xn==用除分子和29\n【答案】=。难点4函数的连续性1．函数f(x)在x0处有定义是（fx）存在的（）A．充分不必要条件29\n【特别提醒】1．深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。2．由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可【易错点点睛】易错点1数学归纳法1．已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,….(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；(Ⅱ)设bn=an-A,n=1,2…,证明：bn+1=-(Ⅲ)若|bn|≤,对n=1,2…都成立，求a的取值范围。【错误解答】(Ⅰ)由，存在，且A=（A>0）,对aa+1=a+两边取极限得，29\n由于而当a≥时，而当a≥时，∴即A|bk+A|≥2.故当a≥时，即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。29\n①当n=1时，a1=,猜想成立；②假设当n=k(k≥1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以ak+1=·=这表明，当n=k+1时结论也成立。由①，②可知，猜想对n∈N*都成立。3．已知不等式++…+>[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,….29\n29\n【特别提醒】1．一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。【变式训练】1.曲线C：xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推。29\n2.设数列a1,a2,…，an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b≠-1。（1）求an和an-1的关系式；答案：an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-解得an=（2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：∵a=S1=1-ba1-29\n1．已知数列{xn}满足x2=xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,….若=2,则x1=()A．B．3C．4D．529\nA．2B．4C．D．0∴∴==14、计算：=___________。29\nSn=29\n2.对于型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。3．运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。【变式训练】1若q为二项式（）8的展开式的常数项，则=___________.29\n4设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N+,q≠±)，An=C1na1+C2na +…+Cnnan(1)用q和n表示An;29\n【正29\n【特别提醒】1．求函数的极限时，如果x→x0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2．当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3．已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。【变式训练】1设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=___________.29\n易错点4函数的连续性1．极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件29\n∴f(x)的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）。而在定域内，x=1时。f(x)=0.f(x)=-1.∴f(x)不存在。故f(x)在x=1处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。【特别提醒】1．在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即f(x)=f(x029\n).前提是f(x)在x0处的极限要存在。2．在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。【变式训练】1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m，使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．629\n2.记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则等于（）A．1B．-1C．0D．不存在5.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(1)求数列{an}的通项公式bn;答案：解：设数列为{bn}的公差为d由题意知29\n（2）设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。29\n7.设实数q满足|q|<1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式，又如果S2n<3,求q的取值范围。29\n（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn.且与曲线y=x2有且仅一个交点，与y轴交于Dn，记dn=-(2n+7)求dn;答案：设ln:y=bnx+m.由∴△=令x=0得y=-(3n+1)2∴Dn(0,-3(n+1)2)Dn+1(0,-3,(n+4)2∴∴dn=|DnDn+1|-(2n+7)=4n-229\n(Ⅲ)若xn=(n∈N)求证(x1+x2+…+xn-n)=1.答案：xn=∴x1+x2+…+xn-n=(1-9.某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并嘱咐每天早晚8点各服用一片药片，已知该药品每征220mg,他的贤脏每次12小时从体内滤出这种药的60%，如果这种药在体内残留超过386mg,将产生副作用。请问：（1）该同学上午8时第一次服药后，到第二天早晨服药后，药在体内还残留多少？10.已知点集L={（x,y）|y=m·n},其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列Pn(an,bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N+.(1)求数列{an},{bn}的通项公式；29\nan-an+1=an-∴a1,<a2,a2<a3>…an>an+1>…>2,即{an}是行列增后减数列，（an）max=a2=（2）已知圆锥曲线Cn的方程为：设Cn=C,求曲线C的方程并求曲线C的面积。答案：由上可知，所以圆锥曲线Cn为椭圆.由于{an}存在极限，所以可设29\n14．已知=,且（1）求，，（2）猜测{}的通项公式，并用数学归纳法证明之.解:∵,∴29\n15.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得29\n29
