8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0[答案] B[解析] 依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，则所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.2．(2012·大连部分中学联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案] B[解析] 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )A．－2B．－C．1D．0[答案] A[解析] 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.12\n4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A、B两点，则cos∠AFB＝( )A.B.C．－D．－[答案] D[解析] 方法一：联立解得或不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，cos∠AFB＝＝＝－.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos∠AFB＝＝－.5．设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A．2B.C.D.[答案] D[解析] 由题意可知，抛物线C1的焦点为F(，0)，因为AF⊥x轴，则A(，±p)，不妨取A(，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为＝，∴＝2，∴＝4，∴e2＝5，∴e＝.6．(2011·海南一模)若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM12\n＝( )A．－B．－C．－D．－[答案] B[解析] 解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝·＝＝＝－.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.7．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.[答案] [解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2)，则直线AF斜率为k＝＝2，所以AB方程为y＝2(x－1)，由联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，解之得x1＝2，x2＝，∴B(，－)，所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝.解法2：如图，l为抛物线的准线，12\nAA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，BM⊥AA1于M，交FO于N，则由△BFN△BAM得，＝，∴|BF|＝.8．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为－1的点P的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋2与l距离d＝，∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，须使h＝，∵d＝h，∴直线y＝2x＋2与椭圆切点，及y＝2x＋4－2与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．9．已知F是椭圆＋＝1(a>0，b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是________．[答案] [解析] 解法1：设直线PF与圆x2＋y2＝b2的切点为M，则依题意得OM⊥MF，∵直线PF的倾斜角为，12\n∴∠OFP＝，∴sin＝＝，椭圆的离心率e＝＝＝＝＝.解法2：依题意可知PF：y＝－(x＋c)(c＝)，又O到PF的距离为b，即＝b，∴＝b2＝a2－c2，∴4a2＝7c2，∴e＝＝.10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.∵MA⊥MB，∴·＝0，12\n∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.能力拓展提升11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18B．24C．36D．48[答案] C[解析] 设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，点Q满足＝λ1(λ1>0)且||＝2a，＝λ2，·＝0，则|OT|的值为( )A．4aB．2aC．aD.[答案] C[解析] 由题知Q、F1、P三点共线，F2、T、Q三点共线．∵|PF1|－|PF2|＝2a＝|F1Q|，∴|PQ|＝|PF2|，又PT⊥QF2，∴T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点，连接OT，则OT为△F1QF2的中位线，所以|OT|＝a.13．(2011·海南五校联考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.[答案] 30°[解析] 作NH垂直于准线于H，由抛物线的定义得|NH|＝|NF|，12\n∴＝＝＝sin∠HMN，得∠HMN＝60°，∴∠NMF＝90°－60°＝30°.14．(2012·山东苍山县期末)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案] －＝1[解析] 在⊙C方程中，令x＝0得y2－4y＋8＝0无解，令y＝0得x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4，故双曲线方程中a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线的标准方程为－＝1.15．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6，由于y>0，只能x＝，于是y＝，所以点P的坐标是(，)．(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x212\n＝(x－)2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值.16.(2012·吉林省实验中学模拟)如图所示，在△DEM中，⊥，＝(0，－8)，N在y轴上，且＝(＋)，点E在x轴上移动．(1)求点M的轨迹方程；(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、Q，求·的最小值．[解析] (1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，－8)，∵N在y轴上且N为EM的中点，∴x＝－a，∵⊥，∴·＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)，∴点M的轨迹方程为x2＝4y(x≠0)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线l1：y＝kx＋1(k≠0)，则直线l2：y＝－x＋1，由消去y得，x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，由消去y得，x2＋x－4＝0，∴x3＋x4＝－，x3x4＝－4.∵A、B在直线l1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，12\n∵C、Q在直线l2上，∴y3＝－x3＋1，y4＝－x4＋1.∴·＝(x3－x1，y3－y1)·(x2－x4，y2－y4)＝(x3－x1)(x2－x4)＋(y3－y1)·(y2－y4)＝(x3－x1)(x2－x4)＋(－x3－kx1)(kx2＋x4)＝x3x2－x1x2－x3x4＋x1x4－x2x3－k2x1x2－x3x4－x1x4＝(－1－k2)x1x2＋(－1－)x3x4＝4(1＋k2)＋4(1＋)＝8＋4(k2＋)≥16等号在k2＝时取得，即k＝±1时成立．∴·的最小值为16.1．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A．(4，＋∞)B．(－∞，4]C．(10，＋∞)D．(－∞，10][答案] D[解析] 过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，当k＝4时，切线为l，∵B点在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.12\n2.(2011·海南五校联考)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )A.＋1B.－1C.D.[答案] A[解析] 设正六边形的边长为1，则AE＝，ED＝1，AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2，∴e＝＝＝＋1.3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)、双曲线－＝1和抛物线y2＝2px(p>0)的离心率分别为e1、e2、e3，则( )A．e1e2>e3B．e1e2＝e3C．e1e2<e3D．e1e2≥e3[答案] C[解析] 对于椭圆c＝，∴e1＝，对于双曲线c＝，∴e2＝12\n，∴e1e2＝＝，∵a>b>0，∴0<4<1，∴e1e2<1＝e3.4．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )A．3B．2C．2D．4[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2，故选C.5．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵渐近线l1：y＝x与过焦点F的直线l平行，或渐近线l112\n从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支交于一个点．∴≥，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2，故选C.6．已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求·的取值范围．[解析] (1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝.由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝)，得直线AF2：＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF2与圆M相切，得＝，解得c＝或c＝－(舍去)．则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，设P(x，y)，由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，即()2＝·，化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.因为点P在椭圆内，故＋y2<1，即＋x2－1<1，∴x2<，∴1≤x2<，又·＝x2－2＋y2＝2x2－3，∴－1≤·<0.12
