5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则·＝( )A．6 B．－6 C．8 D．－8[答案] D[解析] ∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角，∵O为△ABC外心，∴·＝－·＝－(＋)·＝－||2－·＝－8.(理)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] 由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝，∴MB＝MC＝，15\n∴·＝||·||·cos45°＝×2×＝1，·＝||·||·cos135°＝×1×＝－，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－2＋＋1＋2×1＝2，故选B.2．已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是( )A．锐角B．钝角C．直角D．不确定[答案] A[解析] 解法1：p·q＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则p·q＝0，∴sinA＝cosB，∵A、B∈，∴A＝B＝，则C＝，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，∴sinA<cosB＝sin，∵sinx在上为增函数，∴A<－B，∴A＋B<，∴C>这与条件矛盾，∴p与q的夹角为锐角．解法2：由题意可知A＋B>⇒A>－B⇒sinA>sin(－B)＝cosB⇒p·q＝sinA－cosB>0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角．3．(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )A.B.C.D.[答案] C15\n[解析] 如图，＋＝＝2，∵＋＋2＝0，∴＋＝0，∴P为AD的中点，∴所求概率为P＝＝.4．(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为( )A．(－3,0)B．(3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案] B[解析] 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时·有最小值，∴P(3,0)．(理)(2011·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )A．－7B．－14C．7D．14[答案] A[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，∴·15\n＝3×3cos2θ＝－7，选A.5．(2012·吉林实验中学模拟)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝( )A.＋B．－－C．－＋D.－[答案] D[解析] ＝－＝(＋)－(＋)＝＋－－＝－.6．(2012·浙江宁波市期末)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵∠A＝120°，·＝－1，∴||·||·cos120°＝－1，∴||·||＝2，15\n∴||2＋||2≥2||·||＝4，∵D为BC边的中点，∴＝(＋)，∴||2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2－2)≥(4－2)＝，∴||≥.7.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．[答案] －[解析] 设PC＝x，则0≤x≤3.(＋)·＝2·＝－2x×(3－x)＝2x2－6x＝2(x－)2－，所以(＋)·的最小值为－.8．(2012·会昌月考)已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.15\n[答案] －[解析] ·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝1－2－×1×2·cos60°＝－.10．(文)(2012·豫南九校联考)已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，f(x)＝·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值．[解析] (1)∵＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，∴f(x)＝·＝(2cosx＋1)cosx－(cos2x－sinx＋1)＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1＝cosx＋sinx＝sin(x＋)，∴函数f(x)最小正周期T＝2π.(2)∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]，∴当x＋＝，即x＝时，f(x)＝sin(x＋)取到最大值.(理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(－1,1)，n＝(cosBcosC，sinBsinC－)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a＝1；②2c－(＋1)b＝0；③B＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．15\n(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．[解析] (1)因为m⊥n，所以－cosBcosC＋sinBsinC－＝0，即cosBcosC－sinBsinC＝－，所以cos(B＋C)＝－，因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以cosA＝，A＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC，因为A＝30°，a＝1,2c－(＋1)b＝0，由余弦定理得，12＝b2＋(b)2－2b·b·解得b＝，所以c＝，所以S△ABC＝bcsinA＝···＝，方案二：选择①③，可确定△ABC，因为A＝30°，a＝1，B＝45°，C＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝，由正弦定理c＝＝＝，所以S△ABC＝acsinB＝·1··＝.(注意：选择②③不能确定三角形)能力拓展提升11.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝3，AC＝5，BC＝，则·等于( )15\nA．－8B．－1C．1D．8[答案] D[解析] 取BC的中点M，连接AM、OM，·＝(＋)·＝·＝·(－)＝＝8，故选D.(理)(2011·福建理，8)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2][答案] C[解析] ·＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件15\n表示的平面区域如图所示．可以看出当z＝y－x过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则·的取值范围是[0,2]，故选C.12．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．－2[答案] D[解析] 由题意得c＝＝，又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××F1F2·h (h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.所以·＝||·||·cos120°＝2×2×(－)＝－2.13．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，则实数m＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC为直角三角形，∴当A为直角时，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0⇒m＝－2；15\n当B为直角时，·＝·(－)＝(i＋j)·[i＋(m－1)j]＝1＋m－1＝0⇒m＝0；当C为直角时，·＝·(－)＝(2i＋mj)·[i＋(m－1)j]＝2＋m2－m＝0，此方程无解．∴实数m＝0或m＝－2.14．(2012·苏北四市统考)已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．[答案] 3[解析] ＝(x－1，y)，＝(1,0)，＝(x，y－2)，＝(0,2)，∵∴∴∴·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋2×2＝3，∴·的最小值为3.15．(文)已知向量a＝，－，b＝(2，cos2x)，其中x∈.(1)试判断向量a与b能否平行，并说明理由？(2)求函数f(x)＝a·b的最小值．[解析] (1)若a∥b，则有·cos2x＋·2＝0.∵x∈，∴cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1矛盾，∴a与b不能平行．(2)∵f(x)＝a·b＝－＝＝＝2sinx＋，∵x∈，∴sinx∈(0,1]，∴f(x)＝2sinx＋≥2＝2.当2sinx＝，即sinx＝时取等号，故函数f(x)的最小值为2.15\n(理)已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．[解析] 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由＝－得，(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，∴∴把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，整理得y＝x2(x≠0)．16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.[证明] ·＝(＋)·(＋)＝－||2＋·＋·＋·＝－||2＋||||cos90°＋||2cos45°＋||2cos45°＝－||215\n＋||2＝0，∴⊥，即AD⊥CE.1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为( )A．(0，)B．(，π]C．(，π]D．(，][答案] C[解析] 设a与b的夹角为θ，f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a|2－4a·b>0⇒cosθ<，又θ∈[0，π]，所以θ∈(，π]，故选C.2．设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝8x[答案] A[解析] ∵F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＋＋＝0得，(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，∴x1＋x2＋x3＝p.又由抛物线定义知，15\n||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，因此，所求抛物线的方程为y2＝2x，故选A.3．不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点(x，y)的轨迹方程是( )A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[答案] A[解析] 由＝λ得，－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2，故选A.4．已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )A．aB．2a C．3a D．a2[答案] D[解析] ∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴·≤a2.5．已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为、x、y，则＋的最小值是________．[答案] 1815\n[解析] ∵·＝2，∴bccosA＝2，∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，∴S△ABC＝1，∴x＋y＝，＋＝＋＝(＋)＋10≥18.等号成立时，∴x＝，y＝，∴在时，＋取得最小值18.6．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．[答案] [解析] ∵PF与圆x2＋y2＝相切，∴OE⊥PF，且OE＝，∵＝(＋)，∴E为PF的中点，又O为FF2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF|＝|PF2|＋2a＝3a，在Rt△PFF2中，|PF|2＋|PF2|2＝|FF2|2，∴a2＋9a2＝4c2，∴e2＝，∵e>1，∴e＝.7．(2012·广东惠州二调)已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(，1)，其中θ∈(0，)．(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．[解析] (1)∵a∥b，∴sinθ·1－cosθ＝0，求得tanθ＝.又∵θ∈(0，)，∴θ＝.∴sinθ＝，cosθ＝.(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或化为2sin(θ－)＝0来求解)(2)f(θ)＝(sinθ＋)2＋(cosθ＋1)215\n＝2sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋)＋5，又∵θ∈(0，)，θ＋∈(，)，<sin(θ＋)≤1，∴7<f(θ)≤9，即函数f(θ)的值域为(7,9]．15
