9-8用向量方法求角与距离(理)基础巩固强化1.在空间直角坐标O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )A．4 B．3 C．2 D．1[答案] B[解析] 由条件知，O在平面OAB内，∵＝(－1,3,2)，∴点P到平面OAB的距离d＝＝＝2.2．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是( )A．－B．－C.D.[答案] D[解析] 设正方形的边长为1，AC与BD交于点O，当折成120°的二面角时，AC＝2＋2－2···cos120°＝.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋2＋1＋2×1×cos135°＋2××1×cos135°＋2·＝2·＝2||·||cos〈，〉＝2cos〈，〉．∴cos〈，〉＝.3．(2013·江西吉安一中上学期期中考试)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A.B.22\nC.D.[答案] D[解析] 设A1B1＝a，B1C1＝b，C1C＝c，由条件知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，∴＝，＝1，∴c＝a＝b，设b＝，则a＝c＝3，∴A1D2＝12，A1C＝12，C1D2＝18，∵B1C1∥A1D，∴∠A1DC1为异面直线B1C与C1D所成的角，cos∠A1DC1＝＝＝，故选D.4.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD22\n＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 如图，以A为原点建立空间直角坐标系如图．则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，则∴∴∴n1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.5．(2011·广东省江门模拟)如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )22\nA.B.C.D.[答案] B[解析] 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝.6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 解法一：取BC的中点D，在正三角形ABC中，AD⊥BC，在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，22\n∴CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角，设AB＝AA1＝1，则AD＝，AC1＝，∴sin∠AC1D＝＝，故选C.解法二：以线段BC的中点D为原点，直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图．设AB＝1，则A(0，，0)，C1(，0,1)，22\n设AC1与平面BB1C1C所成角为θ，易知平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，，0)，又＝(，－，1)，∴sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，故选C.7．(2011·浙江丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．[答案] (1,1,1)[解析] 设PD＝a，则由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)，∵cos〈，〉＝，∴＝，∴a＝2，∴点E的坐标为(1,1,1)．8．(2011·咸阳模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小为________．22\n[答案] 30°[解析] 由条件知AC⊥BD，AC与BD交点为O，以O为原点，射线OC、射线OD、射线OS分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设SO＝OD＝，则BC＝2，∴A(－，0,0)，C(，0,0)，D(0，，0)，S(0,0，)，B(0，－，0)，∴P(0，，)，∴＝(，，0)，＝(2，0,0)，＝(，，)．设平面PAC的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴∴取n＝(0,1，－1)，设直线BC与平面PAC成的角为φ，则sinφ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴φ＝30°.9．(2012·河南郑州质检)将斜边长为2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成二面角B－AD－C，则三棱锥B－ACD的体积的最大值为________．[答案] [解析] 欲使三棱锥B－ACD的体积最大，因为底面ACD面积一定，故当点B到平面ACD的距离最大时，体积最大，因此当折成直二面角时，所得的三棱锥的体积最大，其最大值Vmax＝××××＝.22\n10.(2012·皖南八校第一次联考)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，DB∥AE，且AC＝AB＝BC＝AE＝1，BD＝2，F为CD中点．(1)求证：EF⊥平面BCD；(2)求多面体ABCDE的体积；(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．[解析] (1)证明：取BC中点G，连接AG、FG，∵F、G分别为DC、BC中点，∴FG綊DB綊EA.∴四边形EFGA为平行四边形．∴EF∥AG.∵AE⊥平面ABC，BD∥AE，22\n∴DB⊥平面ABC.又∵DB⊂平面BCD，∴平面ABC⊥平面BCD.又∵G为BC中点且AC＝AB＝BC，∴AG⊥BC.∴AG⊥平面BCD.∴EF⊥平面BCD.(2)过C作CH⊥AB，则CH⊥平面ABDE且CH＝，∴VC－ABDE＝×S四边形ABDE×CH＝××1×＝.(3)过C作CH⊥AB于H，以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C(，0,0)，E(0，－，1)，F(，，1)，＝(－，－，1)，＝(－，，1)，设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，由取n＝(，－1,1)．又平面ABC的法向量为u＝(0,0,1)，则cos〈n，u〉＝＝＝.∴平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为.能力拓展提升11.(2012·辽宁大连市、沈阳市二模)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点O、E22\n分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.(1)证明：OE∥平面AB1C1；(2)求异面直线AB1与A1C所成的角；(3)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．[解析] 解法1：(1)证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1.(2)∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1.又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(3)∵O是A1C1的中点，AO⊥A1C1，∴AC1＝AA1＝2，又A1C1＝AC＝2，∴△AA1C1为正三角形，∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A1B1＝AB＝2，设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵VA－A1B1C1＝VC1－AA1B1，即·(·A1C1·B1C1)·AO＝·S△AA1B·d.又∵在△AA1B1中，A1B1＝AB1＝2，∴S△AA1B1＝，∴d＝，22\n∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.解法2：∵O是A1C1的中点，AO⊥A1C1，∴AC＝AA1＝2，又A1C1＝AC＝2，∴△AA1C1为正三角形，∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A1B1＝AB＝2，如图建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0,0，)，A1(0，－1,0)，E(0，－，)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2，)．(1)∵＝(0，－，)，＝(0,1，－)，∴＝－，即OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1.(2)∵＝(2,1，－)，＝(0,3，)，∴·＝0，即∴AB1⊥A1C，∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(3)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，∵＝(0,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,1，)，设平面AA1B1的一个法向量是n＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1，可得n＝(1，－1，)，22\n∴sinθ＝cos〈，n〉＝＝，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.[点评] 注意直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．[解析] (1)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0，，1)，从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．22\n设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，即化简得∴即N点的坐标为(，0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.13．(2012·内蒙包头一模)如图，四边形DCBE为直角梯形，∠DCB＝90°，DE∥CB，DE＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，CD⊥AB，直线AE与直线CD所成角为60°.(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求BE与平面ACE所成角的正弦值．[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)在平面ACB内，过C作CF⊥CB，以C为原点，以CF、CB、CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系C－xyz22\n设CD＝a(a>0)，则D(0,0，a)，E(0,1，a)，B(0,2,0)，A(，－，0)，＝(－，，a)，＝(0,0，a)，由直线AE与直线CD所成角为60°，得·＝||||cos60°，∴a2＝，解得a＝1.∴＝(0,1,1)，＝(，－，0)，＝(0，－1,1)，设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝，则y＝3，z＝－3，得n＝(，3，－3)，设BE与平面ACE所成角为θ，则sinθ＝＝，于是BE与平面ACE所成角的正弦值为.14．(2012·新疆维吾尔自治区检测)如图(一)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，E为AD中点，沿CE折叠，使平面DEC⊥平面ABCE，在图(二)中．22\n(1)证明：AC⊥BD(2)求DE与平面ACD所成角的余弦值．[解析] 方法1：(1)证明：由题意知DE⊥平面ABCE，则DE⊥AC，连接BE，由四边形ABCE是正方形可知AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DEB，∴AC⊥平面DEB.又DB⊂平面DEB.∴AC⊥BD.(2)连接BE交AC于O，连接DO，由(1)知AC⊥平面DEB，AC⊂平面ADC，∴平面EDO⊥平面ADC，且交线为DO.∴DE在平面ADC内的射影为DO.∴∠EDO就是DE与平面ACD所成的角．在△DEO中，∠DEO＝90°，设BC＝a，则EO＝a，DE＝a，DO＝a，∴cos∠EDO＝＝，即DE与平面ACD所成角的余弦值为.方法2：如图所示，以E为原点，EC、EA、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E－xyz，令AB＝a，则E(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，a,0)，D(0,0，a)，B(a，a,0)，＝(a，－a,0)，＝(0，－a，a)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)．22\n(1)证明：∵·＝(a，－a,0)·(a，a，－a)＝0，∴⊥，即AC⊥DB.(2)设平面ACD的法向量n＝(x，y,1)，则得解之得∴n＝(1,1,1)，∴cos〈n，〉＝＝＝.设DE与平面ACD所成的角为θ，则sinθ＝，∴cosθ＝＝，∴DE与平面ACD所成角的余弦值为.1.22\n(2012·云南省统考)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于( )A. B.C.D.[答案] D[解析] 解法1：设点C1到平面B1EF的距离h.如图，连接EC1，FC1，由题意得|B1E|＝|B1F|＝＝，|EF|＝，等腰△B1EF底边EF上的高为：h1＝＝，则S△B1EF＝|EF|·h1＝，那么VC1－B1EF＝S△B1EF·h＝h；又VE－B1C1F＝S△B1C1F·|EB|＝×(×2×2)×1＝，且VC1－B1EF＝VE－B1C1F，即＝h，得h＝，选D.解法2：以B1为原点分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，C1(2,0,0)，E(0,1,2)，F(1,0,2)．设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则∴∴x＝y＝－2z.令z＝1得n＝(－2，－2,1)，又＝(2,0,0)，∴C1到平面B1EF的距离h＝＝，故选D.2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________．22\n[答案] [解析] 取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系B－xyz，则A(，，0)，D(0,0,1)，∴＝(－，－，1)．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C.∴＝(，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈，〉＝－，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，∴sinα＝|cos〈，〉|＝，故选A.3．(2011·辽宁理，18)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.22\n(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．[解析] 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线OA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)．则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以·＝0，·＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n＝(0，－1，－2)．设m＝(a，b，c)是平面PBQ的法向量，则即∴a＝b＝c，22\n可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角Q－BP－C的余弦值为－.4．(2012·广东省广州市模拟)如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝2，CD＝1，AD＝，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q.(1)求PQ的长度；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求四棱锥A－MCNQ的体积．[解析] 以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，22\n则有A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(，1,0)，D(，0,0)，P(0,0,4)，M(，0,2)，N(0,1,2)，设Q(0,0，h)．(1)＝(，0,2)，＝(0,1,2)，＝(，1,0)，由M、N、C、Q共面知：＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，于是有即得h＝3，故PQ＝1.(2)设平面MCN的一个法向量为n＝(u，v，r)，底面ABCD的法向量为＝(0,0,4)．∵＝(－，－1,2)，＝(－，0,2)，∴∴取r＝1得n＝(，1,1)，于是有cos〈，n〉＝＝＝，22\n所以截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为60°.(3)由(1)知：＝(－，0,1)＝，于是S△CMQ＝S四边形MCNQ，得VA－MCNQ＝3VA－CMQ.由∠CDA＝∠BAD＝90°知CD⊥平面PAD，VA－CMQ＝VC－AMQ由S△AMQ＝AQ·(AD)＝知：VA－MCNQ＝3(CD·S△AMQ)＝.22
