课时知能训练一、选择题1．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1D．∃x0∈R，tanx0＝2【解析】 对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，∴∀x∈N*，(x－1)2＞0是假命题．【答案】 B2．(2012·揭阳质检)已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．②④C．③④D．①②③【解析】 ∵p假q真，∴綈q假，綈p真，∴p∧綈q假，綈p∨q真．【答案】 A3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sinx0≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x0∈R，sinx0＞1D．綈p：∀x∈R，sinx＞1【解析】 p：∃x0∈A，p(x0)，则綈p：∀x∈A，綈p(x)．【答案】 D4．(2012·韶关模拟)下列命题是假命题的是( )A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件【解析】 若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题，所以C选项是假命题．【答案】 C5．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2B．m≤－2或－1＜m＜2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2【解析】 依题意，p、q一真一假．若p真q假，则，解得m≤－2，若p假q真，则，解得－1<m<2，综上，m≤－2或－1<m<2.【答案】 B二、填空题6．(2012·湛江模拟)命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是________．【解析】 命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是“∃x0∈R，x－x0＜0”．3\n【答案】 ∃x0∈R，x－x0＜07．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．【解析】 ∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．【答案】 ①④8．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0，如果命题綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】 ∵綈p是真命题，∴p是假命题，又当p是真命题，即ax2＋2x＋3≥0恒成立．当a＝0时，2x＋3≥0，即x≥－不恒成立；当a≠0时，应有，∴a≥.∴当p为假命题时，a<.∴实数a的取值范围是(－∞，)．【答案】 (－∞，)三、解答题9．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若∃x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围．【解】 ∵∃x0∈R，f(x0)＜b·g(x0)，∴∃x0∈R，x－bx0＋b＜0，∴Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4.因此实数b的取值范围是b＜0或b＞4.10．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解】 由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，由x∈[1,2]，知x2≥1，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.3\n11．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．【解】 由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a.∴当命题p为真命题时||≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.又∵命题“p或q”为假命题，∴a＞2或a＜－2.故实数a的取值范围为{a|a＞2或a＜－2}．3
