2013年高考数学总复习第二章第10课时函数模型及其应用课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2010·高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1 B．－2C．2D．0解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.2．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.3．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )A．0B．锐角C．直角D．钝角解析：选D.由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵>1>.而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角．4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数解析：选C.由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．5．(2010·高考江西卷)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )A．26B．29C．212D．215解析：选C.∵{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212.二、填空题6．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．4\n解析：f′(x)＝cosx＋ex，∴在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝e0＋cos0＝2.又切点坐标为(0,3)，∴切线方程为y＝2x＋3.答案：y＝2x＋37．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f′(0)＝a2－1＝0，且－a>0，∴a＝－1.故f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：－8．(2012·济南质检)已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2012()＝________.解析：f2(x)＝(sinx＋cosx)′＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝(－sinx－cosx)′＝－cosx＋sinx，f5(x)＝(－cosx＋sinx)′＝sinx＋cosx，…可知：f1()＋f2()＋f3()＋f4()＝f5()＋f6()＋f7()＋f8()＝…＝0，∴f1()＋f2()＋f3()＋…＋f2012()＝f1()＋f2()＋f3()＋f4()＝0.答案：0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝；(3)y＝tanx.解：(1)∵y＝(1－)(1＋)＝－＝x－－x，∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.4\n(2)y′＝()′＝＝＝.(3)y′＝()′＝＝＝.10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.(1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.(2)若f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，则f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得x0＝±，又由题知x0>0，∴得x0＝.11．(探究选做)设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①y1＝－x＋x1－4.②①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝(k－)2－16＝0，得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，∴x2＝，y2＝－4.4\n∴Q点的坐标为(，－4)．4
